第三节基本不等式【考纲下载】1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1≤．基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)≥；＋2(a，b同号)．ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．1．有人说：(1)函数y＝x＋的最小值是2；(2)f(x)＝cosx＋，x∈的最小值是4；(3)当a>0时，a3＋的最小值是2.你认为这三种说法正确吗？为什么？提示：不正确．(1)中忽视了条件x>0；(2)中cosx∈(0,1)，利用基本不等式求最值时，“”＝不能成立；(3)2不是定值．2．x>0且y>0≥是＋2的充要条件吗？提示：不是．当x>0且y>0≥时，＋2≥；但＋2时，x，y同号即可．1．下列不等式中正确的是()A．若a∈R，则a2＋9>6aB．若a，b∈R≥，则2C．若a，b>0，则2lg≥lga＋lgbD．若x∈R，则x2＋>1解析：选C a>0，b>0，∴≥.∴2lg≥2lg＝lgab＝lga＋lgb.2．若x>0，y>0，且x＋y＝，则xy的最大值为()A.B．2C.D.解析：选D x>0，y>0，∴＝x＋y≥2≤，即，∴xy≤.3．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则的()A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为D．最大值为解析：选D≤＝＝＝.当且仅当＝，即x＝2z时取等号．4．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填写所有正确命题的序号)．①ab≤1；②≤＋；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤≥＋2.解析：令a＝b＝1，可排除命题②④；由2＝a＋b≥2，得ab≤1，故命题①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，故命题③≥正确；＋＝＝2，故命题⑤正确．答案：①③⑤5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)≥＝＝＋2＝20，当且仅当＝，即x＝80(x>0)时，等号成立．故每批应生产产品80件，可使f(x)最小．答案：80考点一利用基本不等式证明不等式[例1]已知a>0，b>0，a＋b＝1≥，求证：＋＋8.[自主解答]＋＋＝2， a＋b＝1，a>0，b>0，∴＋＝＋＝2≥＋＋2＋2＝4，∴≥＋＋8.【互动探究】保持例题条件不变，证明：＋≤2.证明： a>0，b>0，且a＋b＝1，∴＋＝＋≤＋＝＝＝2.当且仅当a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝时等号成立．【方法规律】利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．设a、b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.证明：由于a、b≥均为正实数，所以＋2＝，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，又因为＋ab≥2＝2，当且仅当＝ab时等号成立，所以＋＋ab≥＋ab≥2，当且仅当即a＝b＝时取等号.高频考点考点二利用基本不等式求最值1．利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题．2．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)构造不等式求最值．[例2](1)(·福建高考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2∞，＋)D．(∞－，－2](2)(·山东高考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为()A．0B．1C.D．3(3)(·天津高考)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．[自主解答](1)因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2＝2，≤故，即2x＋y≤＝2－2，所以x＋y≤－2.(2)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝.又x、y、z为正实数，∴≥＋4，...
