第三节三角函数的图像与性质【考纲下载】1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性．2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：(k∈Z)；递减区间：(k∈Z)递增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；递减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)递增区间：(k∈Z)最值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ＋，k∈Z对称中心：(k∈Z)对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：(k∈Z)无对称轴周期2π2ππ1．正切函数y＝tanx在定义域内是增函数吗？提示：不是．正切函数y＝tanx在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是奇函数．1．函数y＝tan3x的定义域为()A.B.C.D.解析：选D由3x≠＋kπ，得x≠＋，k∈Z.2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选B f(x)＝sin＝－cos2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像()A．关于直线x＝对称B．关于点对称C．关于直线x＝－对称D．关于点对称解析：选B f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.经验证可知f＝sin＝sinπ＝0，即是函数f(x)的一个对称点．4．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是()A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sinD．y＝cos解析：选A由函数的周期为π，可排除C，D.又函数在上为减函数，排除B，故选A.5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．答案：5＋2kπ(k∈Z)考点一三角函数的定义域和值域[例1](1)求函数y＝lg(sin2x)＋的定义域；(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．[自主解答](1)由得∴－3≤x＜－或0＜x＜.函数y＝lg(sin2x)＋的定义域为.(2)令t＝sinx， |x|≤，∴t∈.∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，∴当t＝时，ymax＝，t＝－时，ymin＝.∴函数y＝cos2x＋sinx的最大值为，最小值为.【方法规律】1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．(·陕西高考)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．解：f(x)＝·(sinx，cos2x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝cossin2x－sincos2x＝sin.(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2) 0≤x≤，∴≤－2x≤－.由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，当2x－＝，即x＝时，f＝，故f(x)的最小值为－.因此，f(x)在上的最大值为1，最小值为－.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性[例2](1)(·浙江高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)”“是奇函数是φ”＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(·福建高考)函数f(x)＝...
