第一节数列的概念与简单表示法【考纲下载】1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3…，，an…，，简记为{an}，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．2．数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.3．数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1…，的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝有的数列没有通项公式．1…．已知数列，，，，，，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A．(19,3)B．(19，－3)C.D.解析：选C由前三项可知，该数列的通项公式可能为an＝.所以即2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项或第6项解析：选D令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n∈N*，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝()A.B.C.D.解析：选D a1a2a3…an＝n2，∴a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴an＝＝(n≥2)，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝＋＝＋＝.4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________.解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.答案：5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.故an＝答案：an＝考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19…，；(2)0.8,0.88,0.888…，；(3)…，，－，，－，，.[自主解答](1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)…数列变为，，，，故an＝.(3)各项的分母分别为21,22,23,24…，，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1…项变为－，原数列化为－，，－，，，故an＝(－1)n.【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9…，；(2)…，，，，，；(3)－1…，，－，，－，，.解：(1)各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24…，，∴an＝.(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列{n}，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴an＝(－1)n.考点二由递推关系式求通项公式[例2]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(4)a1＝，an＋1＝.[自主解答](1) an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2…，，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘，得an＝a1×××…×＝＝.(2) an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.(3) an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.∴数列{an＋1}为等比数列，公比q...
