第五节数列的综合问题【考纲下载】能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．1．数列综合应用题的解题步骤(1)——审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．(2)——“”“”分解把整个大题分解成几个小题或几个步骤，每个小题或每个步骤分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)——“”求解分别求解这些小题或这些步骤，从而得到整个问题的解答．2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．1．设本金为a，每期利率为r，存期为n，若按单利计算，本利和是多少？此模型是等差数列模型还是等比数列模型？提示：本利和为a(1＋rn)，属等差数列模型．2．设本金为a，每期利率为r，存期为n，若按复利计算，本利和是多少？此模型是等差数列模型还是等比数列模型？提示：本利和为a(1＋r)n，属等比数列模型．1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A.＋B.＋C.＋D．n2＋n解析：选A设等差数列{an}的公差为d. a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1·a6，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)．又a1＝2，∴(2＋2d)2＝2×(2＋5d)，解之得d＝或d＝0(舍)．∴Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋.2．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4解析：选D x，a，b，y成等差数列，∴a＋b＝x＋y，又x，c，d，y成等比数列，∴cd＝xy.∴＝＝2≥＋2＋＝4.当且仅当x＝y时取等号，所以的最小值是4.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝；第一行第四个数为5，第二行第四个数为，故y＝，从而x＋y＋z＝3.4．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝________.解析：由题意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数，故an＝0舍去)，又bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，所以log2(a2＋b2)＝log24＝2.答案：25．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1＜Sk＜9(k∈N*)，则k的值为________．解析：由Sn＝an－，得当n＝1时，S1＝a1＝a1－，则a1＝－1.当n≥2时，Sn＝(Sn－Sn－1)－，即Sn＝－2Sn－1－1.令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)，得Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝.故数列是以－为首项，－2为公比的等比数列．则Sn＋＝－×(－2)n－1，即Sn＝－×(－2)n－1－.由1＜－×(－2)k－1－＜9，k∈N*，得k＝4.答案：4考点一等差、等比数列的综合问题[例1]在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：此时对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．[自主解答](1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q…，，an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋q2…＋＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，有an＝上式对n＝1也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝(3)由(2)，得当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3是a6与a9的等差中项，即2a3＝a6＋a9，可得2q2＝q5＋q8，由q≠0，得q6＋q3－2＝0，整理，得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．于是q＝－.而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋，所以an＋3＋an＋6＝＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＝2an.所以对任意的n∈N*，an是an＋...
