第四节数系的扩充与复数的引入【考纲下载】1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)．2．复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0吗？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要条件，只有当a＝0，且b≠0时a＋bi才为纯虚数．2．z1，z2是复数，z1－z2>0，那么z1>z2，这个命题是真命题吗？提示：假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0，但z1>z2无意义，因为虚数无大小概念．3．若z1，z2∈R，z＋z＝0，则z1＝z2＝0，此命题对z1，z2∈C还成立吗？提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足z＋z＝0.但z1≠0，z2≠0.1．(·湖南高考)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．2．复数＝()A．2－iB．1－2iC．－2＋iD．－1＋2i解析：选C＝＝＝＝－2＋i.3．(·新课标全国卷Ⅱ)＝()A．2B．2C.D．1解析：选C ＝＝＝1－i，∴＝|1－i|＝＝.4．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：根据已知可得＝b＋i⇒2－ai＝b＋i⇔即从而a＋b＝1.答案：15．设a是实数，且＋是实数，则a＝________.解析：＋＝＋＝为实数，故1－a＝0，即a＝1.答案：1考点一复数的有关概念[例1](1)(·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)(·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i是虚数单位)，则z的共轭复数为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i[自主解答](1) a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，即a＝3.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i.[答案](1)D(2)D【互动探究】若将本例(2)“中的z－3”“改为z－i”，则为何值？解： (z－i)(2－i)＝5，则z－i＝，∴z＝i＋＝i＋(2＋i)＝2＋2i，∴＝2－2i.【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z－为()A．实数B．纯虚数C．零D．零或纯虚数解析：选D由题意知z－＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，当b＝0时，z－为0；当b≠0时，z－为纯虚数．2．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为()A．0B．－1C．1D．－2解析：选A z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.考点二复数的几何意义[例2](1)(·江西高...
