平面解析几何中的坐标转换及应用VIP免费

2012年5月第25卷第3期黑龙江生态工程职业学院学报JournalofHeilongjiangVocationalInstituteofEcologicalEngineeringMay2012Vol．25No．3平面解析几何中的坐标转换及应用陈英杨华赵浩彦(北京林业大学省部共建森林培育与保护教育部重点实验室，北京100083)摘要:对常用的平面直角坐标转换原理进行了简要的介绍，通过原理分析，得到转换后新坐标值的换算公式，同时通过案例分析表明平面坐标系转换规则的普适性。关键词:平面解析;坐标转换中图分类号:P231文献标志码:A文章编号:1674－6341(2012)03－0040－03收稿日期:2012－03－06基金项目:林业公益性行业科研专项(20080427)，(201104051)作者简介:陈英(1985－)，女，四川成都人，硕士。研究方向:森林资源监测与评价。责任作者:杨华(1964－)，女，北京人，副教授。研究方向:森林可持续经营。在平面解析几何中，有直角坐标的平移和旋转，还有极坐标与直角坐标之间的相互转换。直角坐标系中，坐标的平移，讲究的是一个相对坐标和绝对坐标。坐标的平移，是由坐标轴的平移和转动造成的。如果能弄清楚原坐标的移动距离、移动方向、转过的角度(相对于原坐标移动之前)，那么所要求的坐标，也做原坐标同样的变换就可以在新坐标中找到对应的位置。以下笔者就坐标旋转来讨论新坐标在原坐标中的位置。1坐标换算原理假设旋转前的坐标为X、Y，旋转后的坐标为Xi、Yi，坐标原点均为O，旋转角度为θ(如图1所示)，原坐标系中存在一点P(x、y)，经过θ角度的旋转后，P点在新坐标系中的坐标值P1(x1、y1)能用相应的换算公式计算出来。而P点与现坐标轴Xi之间的角度为α。由图1我们可以看出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)，tanα=yx，α=arctanyx由于原坐标所在新坐标的象限有所不同，故可以导致x1、y1的换算公式不同，下面我们分象限依次讨论:1．1原坐标Y在新坐标的第二象限1．1．1点P1在第一象限，且界于X与Yi之间(如图2所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．1．2点P1在第一象限，且界于X与Xi之间(如图3所示)可得出:x1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α－360°)1．1．3点P1在第二象限，且界于Y与Yi之间(如图4所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．1．4点P1在第二象限，且界于Xi与Y之间(如图5所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，—04—y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．1．5点P1在第三象限，且界于X与Xi之间(如图6所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．1．6点P1在第三象限，且界于X与Yi之间(如图7所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．1．7点P1在第四象限，且界于Y与Yi之间(如图8所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．1．8点P1在第四象限，且界于Y与Xi之间(如图8所示)可得出，x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)由以上结果可知:原坐标Y在新坐标的第二象限时，新坐标系中的坐标值P1(x1、y1)相应的换算公式有(1)和(2)两种:(1)x1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α－360°)(2)x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)按照相同的方法，我们能得出X、Y在其他象限时候，P1(x1、y1)相应的换算公式。1．2原坐标Y别在新坐标的第一象限时，换算公式有(3)和(4)两种(3)x1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α－360°)(4)x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．3原坐标Y在新坐标的第四象限时，换算公式有(5)和(6)两种(5)x1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α－360°)(6)x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)1．4原坐标Y在新坐标的第三象限时，换算公式有(7)和(8)两种(7)x1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α－360°)(8)x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2×sin(θ+α)2总结由以上(1)－(8)换算公式可知，无论怎么旋转，旋转后的新坐标所对应的换算公式都只有(Ⅰ)和(Ⅱ)两种:x1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)，y1=x2+y槡2×cos(θ+α－360°)(Ⅰ)x1=x2+y槡2×cos(θ+α)，y1=x2+y槡2...