数理统计习题课1．设总体服从正态分布，其中是已知的，而未知的，是从总体中抽取的一个简单随机样本
（1）求的密度函数；（2）指出，，，，之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么
解（1）（2），，，都是统计量，因为它们均不包含任何未知参数；而中包含未知参数，所以它不是一个统计量
2（1）设为总体的样本，，，且，试证是的无偏估计
（2）试证在所有形如，（，，）的无偏估计中，以最为有效
解：（1）因，故是的无偏估计
（2）由，所以从而在的所有形如的无偏估计中，以最为有效
3．设母体X服从均匀分布，它的密度函数为（1）求未知参数的矩法估计量；（3）当子样观察值为0
55时，求的矩法估计值
解（1）因为由（2）由所给子样观察值算得4．设总体的分布密度为其中是未知参数
是总体的样本，试求参数的矩估计
解由矩估计的定义，令：即的矩估计为：5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为其中，是未知参数，是一样本，试求和的最大似然估计
解:似然函数为令可得，的最大似然估计为：的最大似然估计为：6．某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（毫米）如下：14
8如果滚珠直径服从正态分布，且知标准差为0
15毫米，求直径平均值对应于置信概率0
95的置信区间
解:已知时,的置信度为的置信区间为我们有由，所以滚珠直径平均值的置信区间为
7．设某批铝材料的比重服从正态分布，现测得它的比重16次，算得，试在置信概率0
95下求的置信区间
解的置信区间为对，查分布表（自由度为15），得所以在置信概率0
95下的置信区间为
(p19)3解：：，：检验统计量为，的拒绝域为计算得，，对自由度-1=9，查t-分布表，得因为所以拒绝H0，即可以认为该日生产的云母片厚度的数学期望与往日有显著差别
