24.4直线和圆的位置关系(2)切线判定定理直线与圆的位置关系相交相切相离图形公共点个数公共点名称直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线dr没有lrdOlrdBAOlrdAO切线的性质定理•定理圆的切线垂直于过切点的半径.•如图 CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,•∴CD⊥OA.老师提示:切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.CDB●OA图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。【操作】画一个⊙O及半径OA，过OA的外端点画一条直线，这条直线是⊙O的切线吗？为什么？lAO【思考】要使这条直线是⊙O的切线还需添加什么条件，为什么？直线何时变为切线•如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,•你能写出一个命题来表述这个事实吗?议一议221.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有的位置关系?有为什么?B●OACD┓dα┏dαd┓如图,点A是⊙O与直线的公共点,且⊥OA.在直线上任取异于点A的点B,则△OAB是Rt△．llllAOB2.而OB是RtOAB△的斜边，因此，都有OB>OA,即B一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此是圆的切线．由此可得：l切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的判定定理•定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.•老师提示:•切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.议一议33CDB●OA如图 OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.1.经过半径的外端2.与半径垂直几何语言OD是⊙O的半径OD⊥l于D直线l是切线满足两个条件lODl是⊙O的切线1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）××××××OOrrllAAOOrrllAAOOrrllAA•〖说明〗（1）此定理说明一条直线必须同时满足两条件：①经过半径的外端，②与这条半径垂直，才能判定这条直线是圆的切线，二者缺一不可.（2）切线的三种判定方法：①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCEDOBACOABCED例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA2、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO例1如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=ABC∠，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相切。例题精讲ODBCA变式：若将题中“AB是直径”去掉，其余条件不变，结论是否成立？•例2、如图，⊙C的半径是1，∠A=300，AC=2，求证：AB是⊙C的切线.CAB注：本例也是证明一条直线是圆的切线，但与前面的例子不同之处在于前面已经知道圆与直线有公共点，连接后证明垂直运用判定定理可得切线。这里却不知道圆与直线是否有公共点，我们无法进行连接，因此我们可以作垂直得到d，再证明d=r，从而得证.例3如图，AB是⊙O的直径,O⊙过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODEC...
