第1页共8页V0M与y轴相切于点C,・：MC丄y轴,TM(5,拔高专题抛物线与圆的综合、基本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相父，根据抛物线的解析式可求父点坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。二、拔咼精讲精练探究点一：抛物线圆和直线相切的问题例(2015•崇如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),OM与y轴相切于点C,与X轴相交于A,B两点.(1)则点A,B,C的坐标分别是A(2,0),B(8,0),C(0,4)1(2)设经过A,B两点的抛物线解析式为(x-5)2+k,它的顶点为E,求证：直线EA4与0M相切；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4),・•・MC=MA=5,OC=MD=4,••.C(0,4),TMD丄AB,ADA=DB,ZMDA=90°,AAD=52-42=3,・\BD=3,・・OA=5-3=2，OB=5+3=8，・A(2，0)，B(8，0)；199(2)证明：把点A(2,0)代入抛物线y=(x-5)2+k,得：k=-,・.E(5,-),第2页共8页44499259225225225.•・DE=,・・・ME=MD+DE=4+=,EA2=32+（）2=,MA2+EA2=52+=,4444161616225ME2=,16.•・MA2+EA2=ME2,.・・ZMAE=90°，即EA丄MA,.EA与0M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5,4）,或（5,J71）,或（5,4+J55）；理由如下：由勾股定理得：BC=JOC2+OB2=J42+82=4^5，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，.P（5，4）；②当BP=BC=4J5时，如图2所示：•.•FD='jBP2-BD2=胡0-32*'71,・P（5,戸！）；③当PC=BC=4J5时，连接MC,如图3所示：则ZPMC=90°,根据勾股定理得：PM=PC2-MC2=80-52=*55，.:PD=4+J55.•・P（5,4+J55）；综上所述：存在点P,且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形,点P的坐标为（5,4）,或（5,*71）,或（5,4+、；'55）.1【变式训练】（2015•柳州）如图,已知抛物线丫二-㊁（x2-7x+6）的顶点坐标为M,与x轴相交于A,B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C.（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（aM0）,并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标;（3）以AB为直径作0N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是0N的切线．第3页共8页1725(x—-7x)-3=-(x-)2+,・•・抛物线的解析式顶点式2)解：1725725y=-(x-)2+，顶点M的坐标是(，)；228280)，B(6连接70),Jx=0时，y=-3,・C(0,-3).连接BC,则BC与对称轴x=—的交点为R,则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=J6—+3—=3^5.设直线BC的解析式为y=kx+b,JB(6,0),C(0,-3),6k+b=0，b=-3k=-2b=-3・直线BC的解析式为：1y=—x-3.7令x=21得y=—x5-)；4'17(3)证明：设点P坐标为(x,-2x2+-x-3).JA(1,155・•.以AB为直径的ON的半径为-AB=-,.•・NP=2,即(x--)2+(--x2+-x-3)2=(-2-3=-4,・・・R点坐标为(—0)，B(6，0)，・N177(,0),257(2-2254002+22「=6J•点P在ON上,・•・直线2,化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0,(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)=0,解得x1=1(与A重合，舍去)，x2=2,x3=5(在对称轴的右侧，舍去)，x4=6(与B重合，舍去),•点P坐7257725225标为(2,2).JM(厂，)，N(牙，0),・.PM2=(2-三)2+(2^——)2^,PN2=282286425625MN2=F)2^^，.PM2+PN2=MN2，・・・ZMPN=90。是。N的切线.J%11(1)解：*/y=-2(x2-7x+6)=-—第4页共8页【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例2:(2015•茂名)如图，在平面直角坐标系中，OA与x轴相交于C(-2,0),D(-8,0)两点，与y轴相切于点B(0，4).(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为E,证明：直线CE与0A相切；(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点卩，使厶BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。I旳丿/0令解:(1)设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,把B(0，4)，C(-2,0)，D(-8,0)代入得:一4=c<0=4a—2b+c,0=64a一8b+c_1a——4了515解得Vb=.・•・经过B,C,D三...
