（通用版）高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 8 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例教案 理-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1．实际测量中的常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a解两个直角三角形AB＝求水平距离山两侧∠ACB＝αAC＝bBC＝a用余弦定理AB＝河两岸∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a用正弦定理AB＝河对岸∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a在△ADC中，AC＝在△BDC中，BC＝在△ABC中，应用余弦定理求AB2.实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度3.解三角形应用题的一般步骤判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，)．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：选B.如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.(教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得＝，则v＝32.答案：32如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为________．解析：由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．答案：50m如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．解析：因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，则∠CAD＝30°，所以CA＝CD＝a，所以AB＝asin60°＝a.答案：a测量距离[典例引领]如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解】在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋2×CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝，BC＝BD＋CD＝，2个小时小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500米，即2.5千米，而<＝＝2.5，所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰．若本例条件“BD＝1km，AC＝3km”变为“BD＝200m，CD＝300m”，其他条件不变，则这条索道AC长为________．解析：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得＝，所以＝.所以AD＝＝200(m)．在△ADC中，DC＝300m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos150°＝390000，所以AC＝100.故这条索道AC长为100m.答案：100m距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距km的C，...