高考数学二轮复习 专题提能五 解析几何综合问题中优化运算的提能策略教案 理-人教版高三全册数学教案VIP免费

5解析几何综合问题中优化运算的提能策略提分策略一利用图形性质、直观运算充分利用图形的结构、性质，直观地运算可有效降低运算量，从而提高运算效率．(2018·江西名校联考)如图，抛物线C：x2＝2px(p＞0)的焦点为F(0,1)，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q.(1)求抛物线C和圆Q的方程；(2)过点F作直线l，与抛物线C和圆Q依次交于点M，A，B，N，求MN·AB的最小值．解析：(1)因为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F(0,1)，所以＝1，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2＋(y－b)2＝r2，由题意知抛物线C与圆Q相切，由得y2－(2b－4)y＋b2－r2＝0，所以Δ＝[－(2b－4)]2－4(b2－r2)＝0，有4b＝4＋r2.①又由P1Q⊥P2Q，得△P1QP2是等腰直角三角形，所以P2，代入抛物线方程有＝4b－2r，②联立①②解得r＝2，b＝3，所以圆Q的方程为x2＋(y－3)2＝8.(2)由题知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，圆心Q(0,3)到直线l的距离为d＝，所以AB＝2＝4.由得y2－(2＋4k2)y＋1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4k2＋2，由抛物线定义知MN＝y1＋y2＋2＝4(1＋k2)．所以MN·AB＝16(1＋k2)，设t＝1＋k2(t≥1)，则MN·AB＝16t＝16＝16(t≥1)，所以当t＝1，即k＝0时，MN·AB有最小值16.点评本题四处运用了降低运算量、提高运算效率的方法，巧妙地避开了烦琐的运算，最终顺利地解决了问题．其中前三个都是基于图形结构，直观地运算．在解析几何问题中善于运用如下平面几何图形的性质，常可大幅度降低运算量：(1)线段的垂直平分线：已知线段AB，动点P满足PA＝PB⇔点P在线段AB的垂直平分线上．(2)三角形：①三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②等腰三角形的两底角相等，且两底角必为锐角；③三角形的中位线平行且等于底边的一半．(3)四边形：①对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线之积的一半；②平行四边形的对角线互相平分(反之也行)；③菱形的对角线互相平分且互相垂直(反之也行)；④矩形的对角线互相平分且相等(反之也行)．[对点训练]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：解得：a＝，c＝，∴b2＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，|AB|＝＝，∴解得：k4≥13，即k≥或k≤－.提分策略二借用已算、同理推算解析几何中存在不少类似的问题，这些问题只需算好一部分，然后作类似的推算与替换即可得到另一部分的结果．(2018·衡水中学模拟)在平面直角坐标系中，定点F1(1,0)，F2(－1,0)，动点P与两定点F1，F2距离的比是一个正数m.(1)求点P的轨迹方程C，并说明轨迹是什么图形；(2)若m＝，过点A(1,2)作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C于P，Q两点，求直线PQ的斜率．解析：(1)设P(x，y)，由题意知＝m(m＞0)，即|PF1|＝m|PF2|，故＝m.即(m2－1)(x2＋y2)＋2(m2＋1)x＋m2－1＝0.当m＝1时，点P的轨迹方程为x＝0，表示直线x＝0(或线段F1F2的垂直平分线为y轴)；当m≠1时，点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x＋1＝0，即2＋y2＝，表示圆心为，半径是的圆．(2)当m＝时，由(1)得曲线C：(x－3)2＋y2＝8.易知直线AP，AQ的斜率存在，所以设直线AP：y－2＝k(x－1)，P(x1，y1)，则直线AQ：y－2＝－k(x－1)，Q(x2，y2)．联立得(1＋k2)x2＋(－2k2＋4k－6)x＋k2－4k＋5＝0，故1·x1＝，即x1＝，此时y1＝kx1＋2－k.同理可得x2＝，此时y2＝－kx2＋2＋k.故kPQ＝＝＝.将x1，x2代入得kPQ＝＝＝－1.点评由于求点P与Q坐标的方法是相同的，差别只是将k换为－k，于是只需将x1＝中的k替换为－k即可得到x2＝.这样就很好地避免了不必要的重复运算，提高了运算的效率．[对点训练](2018·石家庄调研)已...