第2讲导数与函数的单调性1．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0，当x∈(a，b)时．f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)＞0(＜0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件．[提醒]利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数的符号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()答案：(1)×(2)√函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：选D.因为f′(x)＝－sinx－1＜0.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.(教材习题改编)函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－12；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选C.根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.(教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.答案：3利用导数判断(证明)函数的单调性[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．【解】(分类讨论思想)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)单调递减，在(lna，＋∞)单调递增．③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故f(x)在单调递减，在单调递增．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数.[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[通关练习]1．函数f(x)＝e2x＋2cosx－4的定义域是[0，2π]，则f(x)()A．在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数B．在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数C．在[0，2π]上是增函数D．在[0，2π]上是减函数解析：选C.由题意可得f′(x)＝2e2x－2sinx＝2(e2x－sinx)．因为x∈[0，2π]，所以f′(x)≥2(1－sinx)≥0，所以函数f(x)在[0，2π]上是增函数，故选C.2．已知函数f(x)＝mln(x＋1)，g(x)＝(x＞－1)．讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)在(－1，＋∞)上的单调性．解：F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝－＝(x＞－1)．当m≤0时，F′(x)＜0，函数F(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当m＞0时，令F′(x)＜0，得x＜－1＋，函数F(x)在(－1，－1＋)上单调递减；令F′(x)＞0，得x＞－1＋，函数F(x)在(－1＋，＋∞)上单调递增．综上所述，当m≤0时，F(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当m＞0时，F(x)在(－1，－1＋)上单调递减，在(－1＋，＋∞)上单调递增．求函数的单调区间[典例引领](2016·高考北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．【解】(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依题设，即解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′...
