第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量X的均值与方差已知离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)．均值(数学期望)方差计算公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnD(X)＝(xi－E(X))2pi作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根为随机变量X的标准差2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二项分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)4.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×已知X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.B．4C．－1D．1解析：选A.E(X)＝－＋＝－，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：选A.由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.(2017·高考全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________．解析：依题意，X～B(100，0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.96一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.答案：1离散型随机变量的均值与方差(高频考点)离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下两个命题角度：(1)古典概型背景下的离散型随机变量的均值与方差；(2)与二项分布有关的均值与方差．[典例引领]角度一古典概型背景下的离散型随机变量的均值与方差某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差．【解】(1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.方差D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝.角度二与二项分布有关的均值与方差(2018·洛阳市第一次统一考试)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格...
