第2讲导数的简单应用[做小题——激活思维]1．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．y＝3x[因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.]2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是以下选项中的()C[由题图知，当x＜0时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增．因为当0＜x＜2时，f′(x)＜0，所以y＝f(x)在(0,2)上单调递减．又当x＞2时，f′(x)＞0，所以y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增．]3．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)B[函数定义域为(0，＋∞)，由y′＝x－＝≤0得，0＜x≤1，故选B.]4．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D[f′(x)＝k－，由题意知k－≥0，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，又当x∈(1，＋∞)时，0＜＜1，所以k≥1，故选D.]5．函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m的值为()A．7B.C．3D．4D[f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，f′(x)＝0时，x＝2，f′(x)＜0时，0≤x＜2，f′(x)＞0时，2＜x≤3.所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4，故选D.]6．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则a＋b等于()A．0或－7B．－7C．0D．7B[因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，②由①②得或而要在x＝1处取到极值，则Δ＝4a2－12b＞0，故舍去所以只有所以a＋b＝－7，故选B.][扣要点——查缺补漏]1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率．(2)函数y＝f(x)在点x＝x0处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，如T1.2．导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．如T2.(2)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0.如T3.(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．如T4.3．导数与函数的极值、最值(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．如T5.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值，在x0处，f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间的端点处取得．如T6.导数的运算及其几何意义(5年11考)[高考解读]以导数的几何意义为载体，考查曲线切线方程的求法，注意方程思想的应用及复合函数的求导问题.1．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝xD[法一：(直接法)因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：(特值法)因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]2．(2011·大纲版高考)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A．B．C．D．1A[由题意，得：y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′＝－2e－2x，则在点(0,2)处的切线斜率为k＝－2e0＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2.联立得C.∴与y...
