6.3 不等式的证明(1)Microsoft Word 文档VIP专享VIP免费

6.3不等式的证明I一、明确复习目标1．理解不等式的性质和证明;2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二．建构知识网络1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证1。说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。三、双基题目练练手1.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是()A.aB.bC.cD.不能确定2.（2005春上海）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设（0，+∞），则三个数，，的值（）A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于24.对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是．5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为____________.◆简答:1-3.CAD;4.;5.①②;6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==. v1－v2=－v2=－＜0，∴v1＜v2.答案：v1＜v2四、经典例题做一做【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a（2）设求证证明：（1）p=a2+b2+1-ab-a==显然p>0∴得证（2）证法一:左边-右边====∴原不等式成立。证法二:左边>0，右边>0。∴原不等式成立。◆提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.证明法一：（综合法） a+b+c=0，∴（a+b+c）2＝0.展开得ab+bc+ca=－，∴ab+bc+ca≤0.法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0， a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即证［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三： a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．∴ab+bc+ca≤0.【例3】已知的三边长为且为正数.求证:证明一:分析法:要证只需证① 在ΔABC中,∴①式成立,从而原不等式成立.证明二:比较法:证明二:因为为的三边长,所以【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜.（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜.证明：（1）令F（x）=f（x）－x， x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］， 0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.综上，可知x＜f（x）＜x1.（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2对称轴为x=x0...