第2讲点、直线、平面之间的位置关系1.(2017·全国Ⅱ卷,理10)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,以B为坐标原点,BA所在直线为x轴,BB1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,0,1),C1-,,1,所以=(-2,0,1),=-,,1,所以cos<,>====.故选C.2.(2018·全国Ⅰ卷,理12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面AB1D1与棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与A1A,A1B1,A1D1平行,故正方体ABCDA1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.如图所示,取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大,此截面面积为S正六边形EFGHMN=6×××sin60°=.故选A.3.(2017·全国Ⅲ卷,理16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)解析:AB绕AC旋转得圆锥,AB为母线.因为a,b与AC都垂直,则a,b所在直线可平移到圆C面内,如图.对于①,②,不妨设BP为直线a,则b为BE.若∠ABP=60°,则△ABP为等边三角形,则△ABE为等边三角形,所以AB与b成角为60°,①不对,②对.对于③,④,当a与BB'重合时,AB与a所成角最小为45°,③对.当BP足够小时,∠ABP趋向于90°,④不对.答案:②③4.(2018·全国Ⅲ卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM,又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解:当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.1.考查角度(1)线、面位置关系的判断;(2)异面直线所成的角;(3)直线与平面所成的角;(4)空间平行、垂直关系的证明;(5)折叠和探究问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题,中档题为主.(对应学生用书第35~37页)空间线、面的位置关系考向1空间线、面位置关系的判断【例1】(2018·湖南省湘东五校联考)已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m∥l,则α⊥β.其中正确的命题是()(A)①②③(B)②③(C)①②(D)①③解析:对于①,若α∥β,m⊥α,l⊂β,则m⊥l,故①正确.对于②,若α⊥β,则直线m与l可能异面、平行或相交,故②错误.对于③,若m∥l,m⊥α,则l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β,故③正确,故选D.考向2空间角【例2】(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,由题意,直线m∥BD,直线n∥A1B,又△A1DB为等边三角形,∠DBA1=60°,sin60°=,所以m,n所成角的正弦值为,故选A.(1)空间线面位置关系判断的常用方法:①根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;②必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.(2)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:①利用图中已有的平行线平移;②过特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;③补形平移.热点训练1:(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,...
