第3讲平面向量的数量积及应用[考纲解读]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围．题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔□a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝□|a|2或|a|＝□.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤□|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝□b·a；(2)(λa)·b＝□λ(a·b)＝□a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝□a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝□x1x2＋y1y2，由此得到：(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝□x2＋y2或|a|＝□；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝□；(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔□x1x2＋y1y2＝0；(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝.1．概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．()(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0答案B解析因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.答案2解析 a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.(3)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角是________．答案60°解析设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，故|a|2－|a||b|cosθ＝0，解得cosθ＝，故a与b的夹角为60°.(4)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析因为a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10，所以b在a方向上的投影为|b|cosθ＝＝＝－2.题型平面向量数量积的运算1．已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为()A．－1B．1C．－D.答案D解析由两个单位向量a和b的夹角为60°，可得a·b＝1×1×＝，(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，向量a－b在向量a方向上的投影为＝＝，故选D.2．(2018·天津高考)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()A．－15B．－9C．－6D．0答案C解析连接MN，因为BM＝2MA，所以AB＝3AM，同理AC＝3AN，BC＝AC－AB＝3AN－3AM＝3MN，BC·OM＝3MN·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OM－3(OM)2＝3×2×1×cos120°－3×12＝－6.3．已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长度分别为6,10，点E，F分别是线段BC，CD的中点，则AE·BF＝________.答案12解析依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A(－5,0)，C(5,0)，E，B(0,3)，F，则AE＝，BF＝，则AE·BF＝12.计算向量数量积的三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明3.1．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则a·c＝()A．4B．8C．12D．20答案D解析因为a∥b，所以x－2×2＝0，...
