高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第2课时 正、余弦定理的综合问题教案 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学教案VIP免费

第2课时正、余弦定理的综合问题与三角形面积有关的问题(多维探究)角度一计算三角形的面积(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为．(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsinB＝2sinC，则△ABC的面积为．【解析】(1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsinB＝×4×2×sin＝6.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.(2)因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cosC＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsinB＝2sinC，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absinC＝×2sin＝.【答案】(1)6(2)求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝，a＋b＝．【解析】因为(3b－a)cosC＝ccosA，所以利用正弦定理可得3sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB．又因为sinB≠0，所以cosC＝，则C为锐角，所以sinC＝.由△ABC的面积为3，可得absinC＝3，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以(a＋b)2＝ab＝33，所以a＋b＝.【答案】9已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．[注意]正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝，BC＝，cosA＝，则△ABC的面积为()A.B．5C．10D．解析：选A.由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcosA，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sinA＝＝，故S△ABC＝×5××＝.选A.2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.(1)求A；(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.解：(1)由题设得asinC＝ccos，由正弦定理得sinAsinC＝sinCcos，所以sinA＝cos，所以2sincos＝cos，所以sin＝，所以A＝60°.(2)由题设得bcsinA＝，从而bc＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝(b＋c)2－12.又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【解】(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°