9.7空间向量一、明确复习目标1．了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理.2．理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算.3．掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及∥的坐标表示；会求平面的法向量.4．会用空间向量判定线、面的垂直，会求空间直线所成的角.二．建构知识网络1.共线向量定理：对空间任意两个向量ba,（），<=>存在实数使.显然cacbba//,//,//则.若直线L过点A、B，是方向向量，则点P在直线L上存在实数t，使，（此式也叫L的向量方程）点P在直线L上=(1t).（或=xOByOA，x+y=1）2.共面向量定理：两个向量ba,不共线，则向量p与向量共面的充要条件是存在实数对x，y使=byax.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：MByMAxOMOP.3.空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意一向量，存在惟一有序实数对x、y、z使得=byax.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使=x+。特别地，当x+y+z=1时，则必有P、A、B、C四点共面.4.向量的数量积：，1，用于求两个向量的数量积或夹角；，用于求距离.，用于证明两个向量的垂直关系；5.空间向量的直角坐标运算律：则;，，坐标对应成比例；．数量积为零.6.夹角公式:7.模长公式：，．8.,则．距离公式：，9.若表示向量a1，a2，…，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1＋a2＋a3＋…＋an=0.三、双基题目练练手1.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}22.在平行六面体ABCD—A′B′C′D’中，向量、、是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量3.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则()A.x=1，y=1B.x=，y=－C.x=，y=－D.x=－，y=4.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是5.已知四边形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.6.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.◆答案提示：1-3.CCB;4.k=.5.=3a+3b－5c.6.120°5.提示:设AD中点为G，得=3a+3b－5c.四、经典例题做一做【例1】如图,在平行六面体中,是的中点.求证:（1）∥面.（2）设E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A的中点，则这六点共面.分析:只需证明与面中的一组基向量共面.证明（1）:设因为为平行四边形,ABCC1D1A1B1DO3,又O是的中点,若存在实数使成立,则因为向量不共线,,.所以是共面向量,因为不在所确定的平面内,∥面,又面,∥面.（2）不共线，可作为基底，再依次证明、…能用这组基底表示即可，试试如何？【例2】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.（3）若E、F、G分别是AB、AC、SB的中点，求证：平面EFG⊥平面ACG..4LKHGFEOB1C1D1A1BAGFEBCAS思路1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。解法1：（1）设，由已知得：，.（2）所以SC与AB所成的角为arccos.（3）思路2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究.5解法2：如下图，取A为原点，AD、AC、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（一般建成右手系），则由AC=2，BC=，SB=，得C（0，2，0），B（，2，0）、S（0，0，2）。=（0，2，－2），=（，0，0）.（1） =0，∴SC⊥BC.（2）设SC与AB所成的角为θ， =（，2，0），·=4，||||=4，∴cosθ=，即为所求.（3）,思悟提练1.利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.2．用向量研究研究问题可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式.【例3】已知=（2，2，1），=（4，5，3）...
