第五节函数的奇偶性与周期性教材面面观1．函数的奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性．答案f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于________对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，从而证得函数的奇偶性．答案原点3．奇偶函数的性质(1)奇函数图象关于________对称，偶函数图象关于________对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝________；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性________；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性________．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．答案原点y轴0相同相反4．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有________(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．答案f(x＋T)＝f(x)考点串串讲1．函数的奇偶性(1)定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．如果对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．(2)对函数奇偶性的理解需注意：从定义可以看出：①若x是定义域内的点，则－x也在定义域内．由x的任意性可知：奇偶函数的定义域必定关于原点对称．换句话说，定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件．②奇偶性是研究函数在整个定义域内函数值的对称问题，而单调性是研究函数在局部区间内的函数值的增减问题．两者虽然角度不同但都是研究函数的形态．③f(x)若既是奇函数又是偶函数，则f(x)＝0，反过来，不一定成立．如：f(x)＝0(－1＜x＜2)就不是．④若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.2．函数的周期性周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．注意(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，若个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．1(2)在等式f(x＋T)＝f(x)中，应强调自变量x本身的常数才是周期，如f(＋T)＝f()，T不是周期，而应写成f(＋T)＝f[(x＋2T)]＝f()，2T才是f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称之为最小正周期．今后提到的三角函数的周期，如未特别指出，一般都是它的最小正周期．(4)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝C，所有的正数都是它的周期，但其中没有最小值，故常数函数没有最小正周期．(5)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N＋)也是周期．(6)在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界．(7)设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝；③f(x＋a)＝－；④f(x＋a)＝；⑤f(x＋a)＝；⑥f(x＋a)＝f(x－a)，则函数y＝f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．3．函数奇偶性的判断与证明(1)根据图象的对称性判断奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y轴成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．(2)根据定义判断或证明其步骤为：第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则可断言函数y＝f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤．第二步：判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析．第三步：作出结论．若f(－x)＝f(x)则f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)则为奇函数，若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)为既奇且偶的函数；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(3)函数奇偶性的变形应用...
