【精品】高三数学3.4复合函数的导数(第二课时)大纲人教版选修课题3.4.2复合函数的导数（二）教学目标一,教学知识点复合函数的求导法则.二,能力训练要求能够利用复合函数的求导法则，求解一些复杂的函数的导数.三,德育渗透目标1.培养学生灵活运用知识的能力.2.培养学生综合运用知识的能力.教学重点利用复合函数的求导法则求函数的导数.教学难点如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.通过练习，能够熟练地掌握复合函数的求导法则.教学方法讲练结合，以练为主.教学过程.Ⅰ课题导入［师］复合函数的求导法则是什么？［生］复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.［师］用公式如何表示？要注意什么？［生］y′x=y′u·ux′.利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法则如何求一些复合函数的导数..Ⅱ讲授新课（一）课本例题［例2］求y=的导数.［师生共析］这道题如何设中间变量呢？可以设u=（1-3x）4,这时u仍是复合函数，再设v=1-3x.或者可以把y看成y=（1-3x）-4，这时只要设u=1-3x就可以了.解法一：令y=,u=（1-3x）4.再令u=v4，v=1-3x.∴y′x=y′u·u′x=y′u·u′v·v′x=（）′u·（v4）′v·（1-3x）′x=·4v3·（-3）=-·4·（1-3x）3（-3）=.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1解法二：令y=u-4,u=1-3x.y′x=y′u·u′x=（u-4）′u（1-3x）′x=-4u-5·（-3）=12（1-3x）-5.［师］上述两种方法都求得正确结论，但是选取的中间变量不同，求导过程就有难易之分.所以求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.如果你们已经熟练掌握了复合函数的求导法则，那么中间步骤可以省略不写.［板书］解:y′x=［（1-3x）-4］′=-4（1-3x）-5（-3）=12（1-3x）-5.［例3］求y=的导数.解：y=（）,y′=（）·（）′=（）·=·=x（1-x）.（二）精选例题［例1］求y=（ax-bsin2ωx）3对x的导数.［学生板演］解：y′=3（ax-bsin2ωx）2·（ax-bsin2ωx）′=3（ax-bsin2ωx）2［a-（bsin2ωx）′］=3（ax-bsin2ωx）2［a-2bsinωx·（sinωx）′］=3（ax-bsin2ωx）2［a-2bsinωx·cosωx·ω］=3（ax-bsin2ωx）2（a-bω·sin2ωx）.［例2］求y=sinnxcosnx的导数.［学生板演］解：y′=（sinnx）′cosnx+sinnx（cosnx）′=nsinn-1x·cosnx+sinnx·（-sinnx）=nsinn-1xcosnx-sinnxsinnx.［学生点评］做得不正确.在第二步时还要对sinx求导，以及对nx也求导.［学生改正］解：y′=（sinnx）′cosnx+sinnx（cosnx）′=nsinn-1x·（sinx）′cosnx+sinnx·（-sinnx）（nx）′=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx=nsinn-1x（cosxcosnx-sinxsinnx）=nsinn-1xcos（n+1）x.［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.［例3］求函数y=-x2（3x-2）（3-2x）的导数.［学生分析］这是求三个函数乘积的导数，只要根据公式（uvω）′=u′vω+uv′ω+uvω′就可以求了.［学生板演］解：y′=（-x2）′（3x-2）（3-2x）+（-x2）（3x-2）′（3-2x）+（-x2）·（3x-2）（3-2x）′=-2x（3x-2）（3-2x）-x2·3（3-2x）-x2（3x-2）（-2）=24x3-39x2+12x.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2［例4］某质点的运动方程是s=t3-（2t-1）2,求在t=1s时的瞬时速度.解:s′=3 t2-2（2t-1）=3t2-4t+2,∴t=1时,s′=3-2=1,即在t=1s时的瞬间速度为1.［例5］已知函数f（x）=（+x）n（n∈N*）.（1）求f′（x）；（2）判断f（n）-f（n-）与的大小，并且证明.分析：（1）利用定义或复合函数的求导的方法求解.（2）利用二项式定理展开，分别求展开式中各项的极限.（1）解法一： f（x）=（+x）n，∴令u=+x,f=un.∴f′（x）=f′u·u′x=（un）′·（+x）′=nun-1·1=nun-1=n（+x）n-1.解法二：也可以先用二项式定理展开，再求导数. f（x）=（+x）n，...
