§7.4基本不等式及其应用考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：≤(a≥0，b≥0)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y＝x＋的最小值是2吗？提示不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(×)(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(×)(3)若a>0，则a3＋的最小值为2.(×)(4)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(×)(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(√)题组二教材改编2．[P88T4]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．答案81解析 x>0，y>0，∴≥，即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．[P89例1]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.答案25解析设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三易错自纠4．“x>0”是“x＋≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析当x>0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时等号成立)．因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件．5．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案3解析当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是________．答案5解析由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x＝1时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知01)的最小值为________．答案2＋2解析 x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．(3)函数y＝的最大值为________．答案解析y＝，当x－1＝0时，y＝0，当x－1>0时，y＝≤＝，∴当且仅当＝等号成立，即x＝5时，ymax＝.命题点2常数代换法例2(1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．答案3＋2解析由x>0，y>0，得(x＋y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当y＝x时等号成立，又＋＝1，则x＋y≥3＋2，所以x＋y的最小值为3＋2.(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．答案解析正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，∴＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥＝，当且仅当x＝2y＝时，min＝.命题点3消元法例3已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝的最小值为________．答案解析 a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又 a，b>0，∴≤，∴－≥－，∴u＝＝3－≥3－＝3－≥3－＝，当且仅当a＝2，b＝8时，两等号同时成立，即取得最小值．思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)...
