反函数在高考中常见题型分析VIP专享VIP免费

反函数在高考中常见题型分析高考对反函数要求是：理解掌握反函数的概念，明确反函数意义、常见符号、求反函数方法、互为反函数间的关系等.难度不大，但逢试必考.本文归纳整理近年来高考试题中出现的题型,供复习时参考.1、求原函数的定义域例1(92高考上海卷)函数反函数是，求定义域解：原出数定义域是反函数值域，的值域是，故函数定义域是2、求反函数定义域例2、函数f(x+1)=log(x+2)+x+2x+3的定义域，求反函数定义域解：f(x+1)的值域，f(x+1)与f(x)的值域相同，反函数定义域是注：从另角度看，f(x)=log(x+1)+x+2的值域是其反函数的定义域，但是此时它的定义域是，不要误认为是,从而出现f(x)的值域不是错误.3、求函数的值例3、(2004广西卷)已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则.解：易求当时，。解方程和，前者x=-2,后者无解.则-2.例4、(2004湖南卷)设是函数的反函数，若，则的值为（）A．1B．2C．3D．解:即，即.求得，。=8，a+b=3,于是=.选（D）.注;涉及的值时,往往从它的意义入手,通过解方程,得x=,较为简便.4、求反函数例5（2004甘肃卷）函数y=的反函数为（）解：y=，取常用对数，得2x=lny,x=lny.其中即y>0.因此，反函数是.选（B）.例6、（2001全国卷）y=2+1(x>0)的反函数（）Ay=log,By=-logCy=logDy=log解：解方程y=2+1，得x=log,即y=log.的定义域.故选(A)注：求反函数解析式要注意其定义域5、讨论反函数图像例7、（94全国卷）则的图像是（）解：研究反函数图像,往往通过观察原函数的图像实现.先研究f(x)解析式。得它是一段圆弧，圆心（0，1），反函数图像也是一段圆弧，圆心（1，0）.故选(B)例8、(2004福建卷)已知函数y=log的反函数是,则函数的图像是()解:根据性质特征解.=,=,图像过点(1,1),且其值域为(0,).可见,答案选(C).6、求字母参数例9(2001上海卷)的反函数是,的图像过Q(5,2).求b.解:f(x)的图像必过(2,5),代入,得b=1.例10、（2004江苏卷）设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图像与x轴交于A点，它的反函数y=f-1(x)的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于()(A)3(B)(C)(D)解：f(x)=k(x-1)图像过点A（1，0），则B（0，1），四边形OAPB的面积可以分成三角形OPA和OPB，且等于三角形OPA面积二倍.求出点P(3,3).从而求出k=.故选(B).注：原函数图像上的点(a,b),在反函数图像上对应点是(b,a).这是一个经常用到的重要结论.7、求互为反函数图像交点例11、（2002全国卷）求f(x)=图像与反函数图像交点坐标.解:先求反函数f(x)=,解方程,得x=0或1.从而交点坐标是(0,0)(1,1).例12、（2003上海卷）在P(1,1)、Q(1,2)、NM(2,3)四个点中，函数y=与其反函数的图像的公共点只可能是（）A、PB、QC、MD、N解：把N点坐标代入y=，a=；代入其反函数解析式中，也有a=，说明N一定在函数y=与其反函数的图像上。另外，画出两函数图像的示意图如右图（1），看出P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)三点都不在图像上。因此，选（D）注：指数函数与其反函数图像的公共点并不都在直线y=x上;位于直线y=x两侧互为反函数图像的公共点（a，b）、（b，a）是成对出现的;互为反函数图像各自与直线y=x有惟一交点时，这两个交点必重合与直线y=x上一点，若各自与直线y=x有两个交，分别重合与直线y=x上两点处，如右图。8、研究函数与其反函数奇偶性例13、（1992全国卷）的反函数（）A、是奇函数，在（0，+）上是减函数B、是偶函数，在（0，+）上是减函数C、是奇函数，在（0，+）上是增函数D、是偶函数，在（0，+）上是增函数解：偶函数无反函数，排除B、D；原函数在（0，+）上是增函数，反函数也增函数.故选（C）.注:互为反函数的单调性相同,偶函数无反函数.9、存在反函数的条件例14、（2004北京卷）函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.B.C.D.解：函数分别在区间（］和为单调函数，其中x、y一一对应.因此,存在反函数的充分必要条件是.选(C).注:y=是映射反函数x=是映射.因此,y=存在反函数的充分必要条件是所属区间上,x、y应该一一对应.总而言之,反函数内容几乎每年都考,试题的难度又不大,试题涉及到反函数的方方面面，但最常考的是求反函数定义域、值域、函数图像等，除求反函数题外，大多数题不用求反函数，只需将问题转化与原函数有关的问题去解决。