第6讲利用导数研究函数零点问题数形结合法研究零点问题[典例引领]已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．【解】(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，所以F′(x)＝2ax－＝(x＞0)．①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞，由ax2－1＜0，得0＜x＜，故当a＞0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等解．令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，而φ(e)＝，φ()＝.由φ(e)－φ()＝－＝＝＜＜0，所以φ(e)＜φ()．所以φ(x)min＝φ(e)，如图可知φ(x)＝a有两个不相等的解时，需≤a＜.即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不相等的解时a的取值范围为[，)．含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围．利用函数性质研究函数零点[典例引领]已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【解】(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，所以，所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.(2)由g(x)＝2exf(x)，可得2xlnx＝－x2＋ax－3，a＝x＋2lnx＋.设h(x)＝x＋2lnx＋(x>0)，所以h′(x)＝1＋－＝，所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：x1(1，e)h′(x)－0＋h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.且h(e)－h＝4－2e＋<0.所以实数a的取值范围为4
