高三数学理科新课数学归纳法及其应用举例一.本周教学内容：高三新课：数学归纳法及其应用举例二.本周教学重、难点：数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当取第一个值（如取或2等）时结论正确。（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确。由此可以断定，对于任意不小于的正整数，命题都正确。【典型例题】[例1]用数学归纳法证明。。证明：（1）当时，左边，右边=，命题成立。（2）假设当命题成立，即。则当时，左边，所以时命题成立由（1）和（2）知，命题对一切正整数均成立。[例2]已知数列，计算猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。证明：于是可以猜想下面用数学归纳法来证明（1）当时，左边右边猜想成立。（2）假设当时，猜想成立，即那么，当时所以当时猜想也成立。[例3]用数学归纳法证明：（）能被64整除。证明：（1）当时，能被64整除，假设，能被64整除。（2）当时， 与64均能被64整除∴及也能被64整除，所以时，命题成立，由（1）（2）可知时，命题成立。[例4]平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这条直线把平面分割成个区域。证明：（1）当时，一条直线把平面分成两个区域，又，所以时命题成立。（2）假设时，命题成立，即条满足题意的直线把平面分割成了个区域，那么当时，条直线中的条把平面分成了个区域。第条直线被这条直线分成部分，每部分把它们所在的区域分成了两块，因此增加了个区域，所以条直线把平面分成了个区域，所以时命题也成立，根据（1）、（2）知，对一切的，此命题均成立。[例5]数列的通项公式，设，试求的值，推导出的公式，并证明。证明：，猜想：，证明如下：（1）当时，公式成立（2）假设时成立，即那么由（1）（2）可知，对任何都成立。[例6]对一切大于1的自然数，证明：。证明：（1）当时，（2）假设时命题成立，即，那么当时，，只需证明，只要证明，此式显然成立。故当时，不等式仍然成立。由（1）（2）知，对一切（）不等式均成立。[例7]是否存在常数，使等式对一切自然数都成立，并证明你的结论。解：令，得，令，得，整理得，解得。下面用数学归纳法证明等式：=。①当时，等式成立。②假设时，等式成立，即。则当时，。这表明当时，等式成立。由①②可知，等式对一切都成立。[例8]某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为25%，因为生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量。（1）求的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取）解：（1）依题意得：；；由此猜想：下面用数学归纳法进行证明：①当时，，猜想成立。②假设当时，猜想都成立，即，那么当时，，即当时，猜想仍成立。由①、②可知，对任意的自然数猜想都成立。（2）当时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于。所以。整理得。两边取对数得。所以。所以经过8年该地区就开始水土流失。【模拟试题】一.选择：1.用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是（）A.B.C.D.2.用数学归纳法证明“”，在验证时，左端计算所得的项为（）A.B.C.D.3.用数学归纳法证明：（，且）时，第一步即证下列哪个不等式成立（）A.B.C.D.4.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步应是（）A.假设时正确，再推时正确B.假设时正确，再推时正确C.假设时正确，再推时正确D.假设时正确，再推时正确5.空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设个这样的平面把空间分成个区域，则个平面把空间分成的区域数（）A.B.C.D.6.用数学归纳法证明：“（，且）”时，由（）不等式成立推证时不等式成立时，左边应增加的项数是（）A.B.C.D.7.记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和（）A.B.C.D.8.在应用数归纳证明凸边形的对角线成为条时，第一步验证（）A.1B.2C.3D.0二.解答题：1.用数学归纳法证明：。2.平面内有个圆，其中每两个圆都相交，每三个或三个以上的圆都不交于同一点，求证：它们把平面分成个部分。3.求证：[参考答案]http://www.dearedu.com/一.1.C2.C3.C4.B5.A6.C7.B8.C二.1.证...
