第3课时题型研究——“函数与导数”大题常考的3类题型利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问，若不含参数，难度一般，若含参数，则较难．常见的考法有：(1)求函数的单调区间．(2)讨论函数的单调性．(3)由函数的单调性求参数．考法一求函数的单调区间[例1](2018·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区间．[解]f′(x)＝·x＋lnx－k－1＝lnx－k，①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝lnx－k>0，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．②当k>0时，令lnx－k＝0，解得x＝ek，当1
ek时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k>0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．[方法技巧]利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．[针对训练](2019·湖南、江西十四校联考)已知f(x)＝(x2－ax)lnx－x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间．解：易得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(2x－a)lnx＋x－a－3x＋2a＝(2x－a)lnx－(2x－a)＝(2x－a)(lnx－1)，令f′(x)＝0得x＝或x＝e.当a≤0时，因为x>0，所以2x－a>0，令f′(x)<0得x0时，①若0，当x∈时，f′(x)<0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为；②若＝e，即a＝2e，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，f(x)没有单调递减区间；③若>e，即a>2e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为.综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，e)；当02e时，f(x)的单调递减区间为.考法二讨论函数的单调性[例2]已知函数f(x)＝lnx＋－(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．[解]f′(x)＝(x>0)，1①当a<0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>；由f′(x)＝<0，得00时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．[方法技巧]讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[针对训练]已知函数f(x)＝1－lnx＋a2x2－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋2a2x－a＝＝.①若a＝0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②若a>0，则当x＝时，f′(x)＝0，当0时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增．③若a<0，则当x＝－时，f′(x)＝0，当0－时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．考法三由函数的单调性求参数[例3]设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)知f(x)＝x3－x2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，...
