8．3抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用．二．建构知识网络1．抛物线的定义：到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹．2．标准方程：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0)图形略：3．几何性质：对于抛物线y2=2px要掌握如下性质：对称轴,顶点坐标,焦点坐标,准线方程．离心率,焦准距＝,焦半经rmin＝4．焦点弦：对于y2=2px,过焦点的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有，通径：过焦点垂直于轴的弦长为。5．焦半径为直径的圆与y轴相切,焦点弦为直径的圆与准线相切．三、双基题目练练手1．(2005江苏)抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．02．(2005上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在3．焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是()A．y2=16xB．y2=16xC．x2=－8yD．以上说法都不对．4．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于()ABCD5．下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是___________；6．已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆则点N的坐标是_____________（用x0表示）；简答：1-4．BBDC；4．考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,5．把点A的坐标（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9．令y=0，得ax2+9=0，即x2=－．若物体落在D内，应有6＜＜7，解得－＜a＜－．6.N(x0+4,0)新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆四、经典例题做一做【例1】给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，∴d=｜PA｜===． a＞0，x0≥0，∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，此时有x0=0时，dmin==a．（2）当a≥1时，1－a≤0，此时有x0=a－1时，dmin=．【例2】过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求∠A1FB1．AxOy67解法1：由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°－（∠AFA1+∠BFB1）=180°－（180°－∠A1AF）－（180°－∠B1BF）=（∠A1AF+∠B1BF）=90°．法2：设弦AB的方程是：得,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2=-p2又,∴从而知∠A1FB1=90°．提炼方法：1．平面几何法与定义法结合,简捷高效;2．弦AB的方程是：(本题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用．【例3】如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，所以M（－，0）、N（，0）．ABNMll12由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17，①（xA－）2+2pxA=9．②①②联立解得xA=，代入①式，并由p>0，p=4，p=2，xA=1xA=2．因为△AMN为锐角三角形，所以>xA．P=2，P=4，xA=2．xA=1．由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．综上，曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）．提炼方法：1．熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;2．合理选择坐标系,确定标准方程;3．运用距离公式求出标准方程中的待定系数;4．特别注意范围的限定．【例4】(2005全国卷Ⅲ)设...
