第5讲椭圆一、知识梳理1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆F1、F2为椭圆的焦点|F1F2|为椭圆的焦距|MF1|＋|MF2|＝2a2a＞|F1F2|[注意]若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b性质焦距|F1F2|＝2c离心率e＝，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2常用结论1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.12．椭圆的常用性质(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.二、习题改编1．(选修11P40例4改编)椭圆16x2＋25y2＝400的长轴的长，离心率．答案：102．(选修11P41练习T3改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是．答案：＋＝13．(选修11P36练习T3改编)椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为，△AF1F2的周长为．答案：2016一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏(1)忽视椭圆定义中的限制条件；(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是．解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F1F22．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为．答案：＋＝1或＋＝1第1课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用(典例迁移)(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是()2A．2B．2C．4D．4(2)(2020·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝．【解析】(1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，因为OA＝OB，OF＝OF1，所以四边形AFBF1是平行四边形．所以|BF|＝|AF1|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选C.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】(1)C(2)3【迁移探究】(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为＋＝1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2B．3C．5D．7解析：选D.因为a2＝25，所以2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.2．(2020·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝．解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则...
