第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞F1F2时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长[小题体验]1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为________．解析： 双曲线的标准方程为－＝1，∴a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，c＝2，故焦距为4.答案：42．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为________．解析：双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，实轴长为2a＝4.答案：43．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析： 右焦点为(3,0)，∴c＝3.∴a2＝c2－b2＝9－5＝4，∴a＝2，∴e＝＝.答案：1．双曲线的定义中易忽视2a＜F1F2这一条件．若2a＝F1F2，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞F1F2，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.[小题纠偏]1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF1＝9，则PF2等于________．解析：由题意知PF1＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17.答案：172．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．解析：由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.因为a＞1，所以0＜＜1，所以1＜1＋＜2，所以1＜e＜.答案：(1，)3．离心率为，且经过(－，2)的双曲线的标准方程为________．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为－＝1.则有解得所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.当双曲线焦点在y轴上时，设方程为－＝1.则有解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案：x2－＝1或－＝1[题组练透]1．若方程＋＝1(k∈R)表示双曲线，则k的取值范围是________．解析：依题意可知(k－3)(k＋3)＜0，解得－3＜k＜3.答案：(－3,3)2．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为________．解析：因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝13．若以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得a2＝2，b2＝1.因此该双曲线的标准方程是－y2＝1.答案：－y2＝14．(2019·苏锡常镇调研)已知双曲线Γ过点(2，)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为－y2＝λ，将点(2，)的坐标代入，得1－3＝λ，∴λ＝－2，∴所求双曲线的方程为－y2＝－2，其标准方程为－＝1.答案：－＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．[典例引...
