第二节平面向量的坐标表示教材面面观1．向量的坐标平面向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝________，由于a与数对________是一一对应的，因此把________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝________，其中________叫做a在x轴上的坐标，________叫做a在y轴上的坐标．答案x·i＋y·j(x，y)(x，y)(x，y)xy2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a＋b＝________；②a－b＝________；③λa＝________(其中λ∈R)．④a∥b，则________．答案(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x1y2－x2y1＝0考点串串讲1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任取一个向量a，由平面向量的基本定理，有且仅有一对实数x，y使得a＝x·i＋y·j，(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，我们把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．其中i，j称为标准基底，也叫基本向量．显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．说明(1)在直角坐标系内，以原点为起点的向量OA＝a，点A的坐标由a唯一确定．此时，点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．(2)点的坐标与向量的坐标要区别开来，相等向量应坐标相同，但对应的有向线段的起点和终点却可以不同，如A(0,0)，B(1,1)．∴AB＝(1,1)，若C(3,3)，D(4,4)，∴CD＝(1,1)，∴AB＝CD，而A、B、C、D四点坐标不同．(3)两个向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等．(4)通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对确定．反过来，任一有序实数对就表示一个向量，即一个平面就是一个有序实数对．2．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．即两向量的和(与差)等于这两个向量相应坐标的和(与差)．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．(3)对于平面向量的坐标运算要明确：①要明确向量的坐标与表示该向量的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．②向量可以用坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积的运算都可以用坐标来进行，使得向量运算完全代数化，将形与数紧密结合起来，使得许多几何问题可以转化为我们熟知的代数运算．用心爱心专心13．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0.则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.说明凡遇到与共线(平行)向量相关的问题时，一般地要考虑用向量平行的充要条件．另外，在平面几何图形中的点的坐标、线段的长度、三点共线及平行等问题都要用到此定理.典例对对碰题型一向量的坐标运算例1已知a＝AB，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解析先求AB的坐标，再求A的坐标．a与b、c有关，用b、c的坐标表示a. b＝(－3,4)，c＝(－1,1)．∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)即a＝(－7,10)＝AB.又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)．AB＝(1－x,0－y)＝(－7,10)∴⇒即A点坐标为(8，－10)．点评通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系.变式迁移1(1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且CM＝3CA，CN＝2CB.求M、N的坐标和MN.解析(1)用待定系数法：由3×1－(－2)×(－2)≠0，故a与b不共线．可设c＝λ1a＋λ2b(其中λ1、λ2为待定的常数)．即(7，－4)＝λ1(3，－2)＋λ2(－2,1)＝(3λ1－2λ2，－2λ1＋λ2)∴⇒∴c＝a－2b.(2) A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴CA＝(1,8)，CB＝(6,3)．∴CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x，y)，则CM＝(x＋3，y＋4)．因此得∴M(0,20)．同理可得N(9,2)．∴MN＝(9－0,2－20)＝(9，－18).题型二平行向量用心爱心专心2例2已知a＝(2,3)，b＝(1,2)，若ka－b与a－kb平行，求实数k的值，...
