9．4二面角及平面的垂直一、明确复习目标1.掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题2.掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小3．在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理二．建构知识网络1.二面角、平面角的定义——；范围：.两个平面相交成900二面角时，叫两个平面垂直.2．判定两平面垂直的方法：①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直面面垂直”.3．二面角的平面角的作法：①直接利用定义；②利用三垂线定理及其逆定理;③作棱的垂面.三、双基题目练练手1.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有()A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（）3.设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α;②l∥β;③α⊥β,若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是（）A.3B.2C.1D.04.P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PCB.PA⊥BC，PB⊥AC()C.点P到△ABC三边所在直线距离相等1D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等5．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.◆答案提示：1-4.CBBB；5.MD⊥PC或MB⊥PC;6.a四、典型例题做一做【例1】如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.证明（1）：作AH⊥SB于H， 平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.解（2）： SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∴平面SAB⊥BC，∠SBA为二面角S—BC—A的平面角.∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，连结EH.由(1)知AH⊥平面SBC,∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC，∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B为60°.【例2】已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D；ABCSEH2（3）若AB∶AA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.分析：本题结论不定，是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，则平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1，由AE1∥BC1，AE1平面AB1E1，知BC1∥平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点.（2）证明：连结B1D，则B1D⊥A1C1;从直三棱柱定义知AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1D,又A1D∩AA1=A1，∴B1D⊥平面AA1D，又B1D平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD，所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1—AB1—D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=.于是AB1==.在Rt△AB1A1中，A1F===，在Rt△AA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD==.C1_B1_A1_BCAAE1B1C1BCEDA13∴A1H==.在Rt△A1FH中，sin∠A1FH==，∴∠A1FH=45°.因此知平面AB1D与平面AB1A1所成角为450或1350.【例3】在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.解析1.定义法过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC，交BC于F，连接FD，则DEF是所求二面角B-PC-D的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解...
