第2课时三角函数的图象与性质(二)三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)(1)函数f(x)＝2cos2－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则()A．ω＝2，θ＝B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝D．ω＝2，θ＝【解析】(1)因为f(x)＝2cos2－1＝cos＝cos＝sin2x.所以T＝＝π，f(x)＝sin2x是奇函数．故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.由＝π得ω＝2.因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.【答案】(1)A(2)A(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：选B.y＝sin＝cos2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在上单调递增B．f(x)在上单调递减C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增解析：选A.f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A.三角函数的对称性(师生共研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D．【解析】由题意可得＝π，所以ω＝2，可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，再由函数图象关于直线x＝对称，故f＝Asin＝±A，故可取φ＝－.故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.所以函数f(x)图象的一个对称中心是.【答案】B三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sinx图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.C．1D．解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.2．已知函数f(x)＝|sinx||cosx|，则下列说法错误的是()A．f(x)的图象关于直线x＝对称B．f(x)的周期为C．(π，0)是f(x)的一个对称中心D．f(x)在区间上单调递减解析：选A.f(x)＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx|＝·|sin2x|，则f＝|sinπ|＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；函数周期T＝×＝，故B正确；f(π)＝|sin2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈时，2x∈，此时sin2x＞0，且sin2x为减函数，故D正确．三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．【解】(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－cos2x＋＝sinxcosx－cos2x＋＝sin2x－(cos2x＋1)＋＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π；令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)当0≤x≤时，...
