高三数学专题教案第3讲—必要条件下的归纳转换VIP免费

高三数学专题教案第3讲：必要条件下的归纳转换学科网学科网甲：a为偶数；乙；{a，b}为2个偶数的集合.学科网甲是乙的必要条件（但不充分）.学科网用必要条件的推理过程，在逻辑上称归纳过程.相应的，用必要条件的解题转换，在逻辑上称归纳转换.学科网归纳转换，是"特殊到一般"的转换，是"部分到整体"的转换，是"元素性质"向"集合性质"的转换.学科网归纳转换，可用集合运算解释为：学科网命题p分别对集合A真，对集合B真，对集合C真，则命题p对集合M=A∪B∪C真.学科网归纳转换对应的方法称归纳法.常见的归纳法有：学科网（1）不完全归纳.如用观察法求某数列的一个通项公式.学科网（2）穷举归纳.如分别就锐角、直角、钝角证明余弦定理.学科网（3）完全归纳.如用数学归纳法证明自然数集合有某性质.学科网（4）抽象归纳.如用公式法把数字问题归纳成字母问题.学科网（5）极限归纳.如用极限的办法把有理数的某性质归纳到实数.学科网学科网【例1】已知数列{an}的各项都是正数，且满足：naaaannn),4(21,110N.学科网（1）证明12,;nnaanN学科网（2）求数列}{na的通项公式an.学科网学科网【解析】（1）方法一用数学归纳法证明：学科网1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa学科网∴210aa，命题正确.学科网2°假设n=k时有.21kkaa学科网则111111,(4)(4)22kkkkkknkaaaaaa时学科网1111112()()()21()(4).2kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa学科网而1110.40,0.kkkkkkaaaaaa学科网又2111(4)[4(2)]2.22kkkkaaaa学科网∴1kn时命题正确.学科网由1°、2°知，对一切n∈N时有.21nnaa学科网【说明】由数列的的递推式，运用数学归纳法证明，其关键是n=k+1时的证明.学科网方法二：用数学归纳法证明：学科网用心爱心专心1°当n=1时，,23)4(21,10010aaaa∴2010aa；学科网2°假设n=k时有21kkaa成立，学科网令)4(21)(xxxf，)(xf在[0，2]上单调递增，所以由假设学科网有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa学科网也即当n=k+1时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有.学科网【说明】方法二的证明也是数学归纳法，但它另辟新径，运用函数，归纳出它的单调性，推出n=k+1时成立.学科网（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121nnnnaaaa所以学科网21)2()2(2nnaa学科网令2nnab学科网则nnbbbbbnnnn20221222222112212121212121学科网又b0=－1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即学科网【说明】求an的通项公式，借助数列bn的层层递推，最后归纳到了题目给的条件a0上，从而使问题由递推式转换成了通项公式.学科网学科网【例2】设函数aaxxaxf||)(22.)0(aRa且学科网（1）分别判断当1a及2a时函数的奇偶性.学科网（2）在0aRa且的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明.学科网【分析】（1）（2）两问都要求判断函数的奇偶性，判断函数的奇偶性，可以用定义无法判断，我们可以用特例法.学科网【解析】（1）当1a时，1|1|1)(2xxxf，学科网由.11,012xx学科网所以21)(2xxxf学科网)21()21(),21()21(,33)21(,53)21(ffffff,学科网)(xf为非奇非偶函数.学科网（如举其他的反例同样给分）学科网用心爱心专心当2a时，2|2|4)(2xxxf，由22,042xx得，所以学科网xxxf24)(，)()(],2,0()0,2[xfxfx，)(xf为奇函数.学科网（2）当.)(,0;)(0为奇函数时当为非奇非偶函数时，xfaxfa学科网axxaxfaxaxaa2)(,,002222得时，由，可以验证：学科网)2()2(),2()2(,0afafafafa对任意的，)(xf为非奇非偶函数.学科网（如举其他的反例同样给分）学科网],,0()0,[,)(,,002222aaxxxaxfaxaxaa得时，由学科...