第5节椭圆最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[微点提醒]点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(选修1－1P33习题2-1A3（1）改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_________________________________.解析因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.答案＋＝13.(选修1-1P32练习1改编)椭圆＋＝1的焦点坐标为()A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)解析根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3).答案B4.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.B.C.D.解析不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.答案C5.(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k<9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确.答案D6.(2019·西安调研)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为(，1)或(，－1).答案(，1)或(，－1)第1课时椭圆及简单几何性质考点一椭圆的定义及其应用【例1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2019·南昌检测)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为()A.24B.12C.8D.6解析(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2) P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又 |F1F2|＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△P1FF2＝|PF1|·|PF2|＝24， △PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S...
