第四讲直线与圆锥曲线一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，主要涉及弦长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）直线与圆锥曲线问题的解决思路“三十二字思路”：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；韦达已知，解决问题；遇弦中点，点差优先．（二）直线与椭圆，显然，；（1）当时，直线与椭圆只有一个公共点，属于直线与椭圆相切；（2）当时，直线与椭圆有两个公共点，属于直线与椭圆相交；（三）直线与双曲线，（1）若时，直线平行于双曲线的渐进线，此时，①当时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；②当时，直线与双曲线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；（2）若时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时，①当时，直线与双曲线只有一个公共点，属于直线与双曲线相切；②当时，直线与双曲线有两个公共点，属于直线与双曲线相交；（四）直线与抛物线，（1）若时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只有一个公共点，属于一个交点的相交，而不是相切；（2）若时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时，①当时，直线与抛物线只有一个公共点，属于直线与抛物线相切；②当时，直线与抛物线有两个公共点，属于直线与抛物线相交；三、精典例析例1：已知曲线，定点，直线经过点，斜率为，与曲线交于不同的1两点，设的中点为，求直线的斜率关于的函数关系．解析：设直线的方程为，，则：，∴，，且 ，∴；故．例2：已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点．问：是否存在k的值，使以为直径的圆过点？请说明理由．解析：（1）直线方程为：，则：，∴椭圆方程为．（2）假若存在这样的k值，设，则：，∴，且， ，2∴要使以为直径的圆过点，当且仅当时，则：．∴，∴，经验证，时符合题意．综上，存在，使得以为直径的圆过点．例3：已知双曲线的中心在原点，它的渐近线与圆相切．过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足．（1）求双曲线的渐近线的方程；（2）求双曲线的方程；（3）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴．如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程．解析：（1）设双曲线的渐近线的方程为：，则： 渐近线与圆相切，∴．故双曲线的渐近线的方程为：．（2）设双曲线的方程为：，则：，∴， ，共线且在线段上，∴，例4：（05年湖北卷）设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于两点．（1）确定的取值范围，并求直线的方程；（2）试判断是否存在这样的，使得、四点在同一个圆上？并说明理由．解析：（1）法1：显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，设3，则：，∴，且， 点是线段的中点，∴，直线的方程是：．∴，故的取值范围是．法2：设，则：，∴； 点是线段的中点，∴，∴，直线的方程是． 点在椭圆的内部，∴．故的取值范围是．（2）法1： 直线垂直平分线段，∴直线的方程为，又设，的中点，则：，∴，且，，即．∴，4又，，同理可得：，∴当时，．假设在在，使得、四点共圆，则必为圆的直径，点M为圆心，点M到直线AB的距离为：，∴．故当时，、四点均在以M为圆心，为半径的圆上．（注：上述解法中最后一步也可如下解法获得： 、共圆△ACD为直角三角形，A为直角，∴， 即A、B、C、D四点共圆．）例5：（05年江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线，且与抛物线C分别相切于两点．（1）求△APB的重心G的轨迹方程；（2）证明：．解析：（1）设切点，则：切线的方程...
