重点增分专题十二计数原理、概率、随机变量及其分布列[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018几何概型·T10古典概型·T8求二项式系数问题·T5二项分布、导数的应用及变量的数学期望、决策性问题·T20相互独立事件及二项分布·T82017数学文化、有关面积的几何概型·T2二项分布的方差·T13频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T192016与长度有关的几何概型·T4几何概型、随机模拟·T10柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18(1)概率、随机变量及其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题．(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．保分考点·练后讲评[大稳定]1.(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：选C5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.2.(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解析：选C(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30.3.在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120解析：选C令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C.4.若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a等于()A．2B.C．1D.解析：选C二项式7的展开式的通项Tr＋1＝C27－rx7－rarx－r＝27－rCarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5，所以T6＝4Ca5＝84，解得a＝1.5.在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A．－7B．7C．－28D．28解析：选B因为只有第5项的二项式系数C最大，所以＝4，即n＝8.8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C8－rr＝x8－r，令8－r＝0，解得r＝6，故常数项为T7＝＝7.故选B.6.(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．解析：法一：(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，其展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2＋x)4－ryr，因为要求x3y2的系数，所以r＝2，所以T3＝C(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2.因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6×2＝12.法二：(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是C·C·C＝12.答案：12[解题方略]1．求二项式与代数式积的展开式特定项系数问题的关键一是将二项式看作一个整体，利用分配律整理所给式子；二是利用二项展开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数．2．求(x＋y＋z)n的展开式的特定项的系数问题的技巧若三项能用完全平方公式，那当然比较简单，若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数把(x＋y＋z)n看作n个因式x＋y＋z的乘积，再利用组合数公式求解．3．二项式系数最大项的确定方法若n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；若n是奇数，则中间两项第项与第＋1项的二项式系数，最大．[小创新]1.在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(4,0)＋f(3,1)＋f(2,2)＋f(1,3)＋f(0,4)＝()A．1240B．1289C．600D．880解析：选B(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，(2＋y)4的展开式中，yn的系数为C24－n，则f(m，n)＝C·C·24－n，从而f(4,0)＋f(3,1)＋f(2,2)＋f(1,3)＋f(0,4)＝C·C·24＋C·C·23＋C·C·22＋C·C·21＋C·C·20＝1289.2.已知(1＋ax＋by)5(a，b为常数，a∈N*，b∈N*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数f(x)＝，x∈的最小值为______．解析：令x＝0，y＝1，得(1＋b)5＝243，解得b＝2.因为x∈，所以x＋∈，则sinx＋cosx＝sin∈[1，]，所以f...
