第1讲空间几何体的表面积、体积及有关量的计算[做小题——激活思维]1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A.πB.πC．16πD．24πB[设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为πR3＝π.]2．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝，AA1＝4，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为()A．5B.C．4D．6B[将三棱柱展开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1D⊥AB交A1B1于Q，则C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝，两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1Q＝A1C1×sin60°＝×＝，所以C1D＝＋4＝，AD＝，所以AC1＝＝＝.]3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________，体积为________．28π16π＋π[由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.V＝V柱＋V锥＝16π＋π.]4．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为________．1[在正三棱柱ABCA1B1C1中， AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1.∴VAB1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.]5．已知一个圆台的下底面半径为3，高为2，当圆台的上底面半径r′变化时，圆台体积的变化范围是________．(6π，18π)[V圆台＝π(r2＋rr′＋r′2)h,0＜r′＜3.当上底面面积为0时，圆台变为圆锥，V圆锥＝πr2h＝6π；当r′＝3时，圆台变为圆柱，V圆柱＝πr2h＝18π.所以圆台体积的变化范围是.][扣要点——查缺补漏]1．空间几何体的表面积与体积(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上，如T4.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.(3)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积，如T3.2．柱、锥、台之间的关系3．多面体与球(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r＝.(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．(3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年2考)[高考解读]重点考查考生的识图能力和空间想象能力、考生对试题的研究必须经历从“识图”、“想图”到“构图”的过程，要通过观察、分析、想象、判断、计算的逻辑思维才能求解，考查了考生的直观想象和逻辑推理的核心素养.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2B．2C．3D．2切入点：圆柱的三视图．关键点：正确还原圆柱体并将侧面展开，找出M，N在侧面展开图中的位置．B[设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM＝2，ON＝4，则从M到N的最短路径为＝＝2.][教师备选题]1．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4C[由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.]2．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B.C.D．2C[根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.]1．由三视图还原...
