第2课时导数与方程题型一求函数零点个数例1设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数．解令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x>0，问题等价于求函数F(x)的零点个数．F′(x)＝－，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln4<0，所以F(x)有唯一零点．当m>1时，若0
m，则F′(x)<0；若10，所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点．综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．思维升华(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．跟踪训练1设函数f(x)＝－，g(x)＝－－＋m，试讨论函数f(x)与g(x)在(0，＋∞)上的交点个数．解令h(x)＝f(x)－g(x)＝－＋＋－m(x>0)，则h′(x)＝－＋＝－.易知h′(1)＝0，∴当00，当x>1时，h′(x)<0，∴函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝－＋1－m.①当－＋1－m＝0，即m＝1－时，函数h(x)只有一个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上只有1个交点；②当－＋1－m<0，即m>1－时，函数h(x)没有零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上没有交点；1③当－＋1－m>0，即m<1－时，当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→－－m，若－－m≥0，即m≤－，函数h(x)有一个零点，即函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)上有一个交点，当－－m<0，即－1－时，f(x)与g(x)在(0，＋∞)上没有交点；当m＝1－或m≤－时，f(x)与g(x)在(0，＋∞)上有1个交点；当－0；当10)，所以h′(x)＝1＋－＝.所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下：x1(1，e)h′(x)－0＋2h(x)极小值又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.且h(e)－h＝4－2e＋<0.所以h(x)min＝h(1)＝4，h(x)max＝h＝＋3e－2，所以实数a的取值范围为40，解得x>e－2，令f′(x)<0，解得0时，f(x)min>0，f(x)无零点，当a＝时，f(x)min＝0，f(x)有1个零点，当a<时，f(x)min<0，f(x)有2个零点．2．已知f(x)＝＋－3，F(x)＝lnx＋－3x＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解(1)f′(x)＝－＋＝，令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0
