基础送分专题二平面向量平面向量的基本运算[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.AB－ACB.AB－ACC.AB＋ACD.AB＋AC解析：选A法一：作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故AB＝(1,0)，AC＝(0,1)，EB＝(1,0)－＝，即EB＝AB－AC.2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB＝OA＋OC，则|AB|∶|BC|＝()A．1∶3B．3∶1C．1∶2D．2∶1解析：选D由OB＝OA＋OC，得OB－OA＝2(OC－OB)，即AB＝2BC，所以|AB|∶|BC|＝2∶1，故选D.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，解得λ＝.答案：4．(2018·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μAN，则实数λ＋μ＝________.解析：如图， AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝DC＋BC，①AN＝AD＋DN＝BC＋DC，②由①②得BC＝AN－AM，DC＝AM－AN，∴AC＝AB＋BC＝DC＋BC＝AM－AN＋AN－AM＝AM＋AN， AC＝λAM＋μAN，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝.答案：[题后悟通]快审题1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则．2.看到向量平行，想到向量平行的条件．准解题记牢向量共线问题的4个结论(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔OP＝(1－t)OA＋tOB(O为平面内任一点，t∈R).(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔＝.平面向量的数量积[题组练透]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. |a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2．已知向量m＝(t＋1,1)，n＝(t＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则t＝()A．0B．－3C．3D．－1解析：选B法一：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)·(m－n)＝0，即m2＝n2，故(t＋1)2＋1＝(t＋2)2＋4，解得t＝－3.法二：m＋n＝(2t＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， (m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋3)－3＝0，解得t＝－3.3．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点D在边AC上，且2AD＝DC，则BA·BD的值是()A．48B．24C．12D．6解析：选B法一：由题意得，BA·BC＝0，BA·CA＝BA·(BA－BC)＝|BA|2＝36，∴BA·BD＝BA·(BC＋CD)＝BA·＝0＋×36＝24.法二：(特例法)若△ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(6,0)，C(0,6)．由2AD＝DC，得D(4,2)．∴BA·BD＝(6,0)·(4,2)＝24.4.(2018·贵阳摸底考试)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，则AB·AD的值为()A．10B．11C．12D．13解析：选B以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以AB·AD＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.5．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．解析：因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因为t>0，所以t＝.答案：6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为________．解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x,1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0. |DP|＝|BQ|，∴|x|＝|y|，∴x＝－y. PA＝(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，∴PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，PA·PQ取得最小...
