第2课时数列的综合问题题型一数列与函数例1(2018·四川三台中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，19成等差数列．(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝log3(an＋2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围．解(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*中，令n＝1，得2S1＝a2－22＋1，即a2＝2a1＋3，①又2(a2＋5)＝a1＋19，②则由①②解得a1＝1.(2)当n≥2时，由③－④得2an＝an＋1－an－2n，则＋1＝，又a2＝5，则＋1＝.∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴＋1＝×n－1，即an＝3n－2n.(3)由(2)可知，bn＝log3(an＋2n)＝n.当bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立时，即(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6<0(n∈N*)恒成立．设f(n)＝(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6(n∈N*)，当λ＝1时，f(n)＝－n－6<0恒成立，则λ＝1满足条件；当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ>1时，由于对称轴n＝－<0，则f(n)在[1，＋∞)上单调递减，f(n)≤f(1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞)．思维升华数列与函数的交汇问题1(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．跟踪训练1(2018·辽南协作校模拟)已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a2n＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围．解(1)由a1＝1，＝，an≠0，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝n－1.∴bn＝2－log22n＝2n＋2.(2)由(1)得，Tn＝n2＋3n，∴m≥－2n2＋6n对任意正整数n都成立．设f(n)＝－2n2＋6n， f(n)＝－2n2＋6n＝－22＋，∴当n＝1或2时，f(n)的最大值为4，∴m≥4.即m的取值范围是[4，＋∞)．题型二数列与不等式例2已知数列{an}中，a1＝，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<1.证明(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，整理得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1(n≥2)，∴－＝2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.∴当n＝1时，Sn＝<1，方法一当n≥2时，Sn＝<·＝，∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn<＋＝1－<1.∴原不等式得证．2方法二当n≥2时，<＝，∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn<＋＝＋，<＋＝<1.∴原命题得证．思维升华数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．跟踪训练2(2018·天津部分区质检)已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.(1)解设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意得1＋d＝1＋q，q2＝2(1＋2d)－6，解得d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.(2)证明因为cn＝＝＝，所以Tn＝＝＝－，因为>0，所以Tn<.又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增，所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝，所以≤Tn<.题型三数列与数学文化3例3(2018·东北师大附中模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”()A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤答案D解析原问题等价于等差数列中，已知a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4的值．由等差数列的性质可知a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝＝3，则a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重9斤．思维升华我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．跟...
