6.4 不等式的证明(2)Microsoft Word 文档VIP专享VIP免费

6.4不等式的证明II一、明确复习目标1.掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性.提高分析问题,解决问题的能力.二．建构知识网络1.反证法：正难则反.否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式.常用的放缩手法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，绝对值不等式,a2≥0等;④若a>b>0,m>0,则.3.换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式；5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。三、双基题目练练手1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是()A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能确定2.设M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能确定3.（2005春北京）若不等式（－1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是()A.［－2，）B.（－2，）C.［－3，）D.（－3，）4.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），则an+1与bn+1的大小关系是____________.5.若a＞b＞c，则+_______.（填“＞”“=”“＜”）6.记S=，则S与1的大小关系是_________简答:1-3.BAA;3.当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，∴a＜2－=.当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.而－2－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+15.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S<1四、经典例题做一做【例1】已知a，b∈R，且a+b=1求证：证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。证法二：（放缩法） ∴左边＝＝右边证法三：（均值换元法） ，所以可设，，∴左边＝＝右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元证法四：（判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【例2】（1）设，且，求证：；（2）设，且，求证：【证明】（1）设则，=。（2）设， ，∴。于是。【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：－1＜.证法一：要证－1＜，即证a＜（+1）n.令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜（1+）n. （1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，即－1＜成立.证法二：设a=xn，x＞1.于是只要证＞x－1，即证＞n.联想到等比数列前n项和=1+x+…+xn-1>n.∴＞n.【例4】已知(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：x>y>0,有f(x+y)