第十一节函数的值域与最值教材面面观1．函数y＝f(x)函数值的集合称为函数的________．答案值域2．设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对任意x∈I都有f(x)≤M；②存在x0∈I使得f(x0)＝M，则称实数M是函数y＝f(x)的________；如果存在实数N满足：①对任意x∈I，都有f(x)≥N；②存在x0∈I使得f(x0)＝N，则称实数N是函数y＝f(x)的________．答案最大值最小值3．闭区间上的连续函数一定有________．答案最大值和最小值4．求函数值域常用方法有：________、________、________、________、导数法等．答案配方法换元法单调性法不等式法考点串串讲1．函数值和函数值域的概念(1)函数值与函数值域是两个相关概念，函数值是一个局部概念，函数值域是一个整体概念．函数值域是函数值的集合，该函数的所有的函数值都在该函数的值域中，函数的值域中的每一个元素都是该函数的一个函数值．(2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法则．一般地，若一个函数的定义域和对应法则中有一个不相同，求得的函数值域就可能不同，即使是对于同一个对应法则给出的函数，若改变了它的定义域，所求的值域也可能不同．2．函数的最大值与最小值的定义(1)定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，x0∈D.如果对于任意的x∈D，均有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值，记作f(x)max＝f(x0)；如果对于任意的x∈D，均有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最小值，记作f(x)min＝f(x0)．(2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y＝f(x)的图象如图所示．可知当x＝时函数的最大值为1，当x＝－1时最小值为－.②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．因此要证明或判断一个数是函数的最大(小)值，就必须证明或判断值域中的其他数都比它小(大)，有时需要用到有关不等式的知识．用心爱心专心1③极值与最值极值是函数的局部性质，极大(小)值是函数在某一区间上的最大(小)值，而最大值与最小值则分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．④并不是所有的函数都有最大值与最小值．如：函数y＝x3(x∈R)在定义域内就没有最大值，也没有最小值．3．函数值域的求法(1)列举法即直接根据函数的定义域与对应法则将函数值一一求出来写成集合形式．这种方法只适于值域B中元素为有限或虽然是无限但却是与自然数有关的集合．如：荻里克莱函数：f(x)＝函数的值域为{0,1}．(2)逐层求值域法：逐层求值域法就是根据x的取值范围一层一层地去求函数的值域．例如：求函数f(x)＝，x∈[2,5]的值域． x∈[2,5]∴2x∈[4,10]1－2x∈[－9，－3]∈[－，－]∴函数f(x)的值域为[－，－]．逐层求值域法适用于函数解析式中只有一个地方出现变量x.(3)分离常数法形如y＝(a≠0)的函数，这种类型的函数值域经常使用“分离常数法”求解．(4)配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f2(x)＋bf(x)＋c]的函数的值域问题，均可使用配方法．(5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时一定要注意新元的范围对值域的影响．(6)判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．注意事项：①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式．(7)利用函数的有界性形如sinα＝f(y)，x2＝g(y)，ax＝h(y)等，因为|sinα|≤1，x2≥0，ax＞0可解出y的范围，从而求出其值域或最值．(8)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(9)重要不等式利用均值不等式：a＋b≥2，ab≤2，a2＋b2≥2ab.用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”．如：利用a＋b≥2求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件：①a＞0，b＞0；②a＋b(或ab)为定值；③取等号条件a＝b.三个条件缺一不可．用心爱心专心2(10)...
