对数运算法则课标解读课标要求核心素养1.理解对数的运算性质.(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.(难点)3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.(易错点、重点)1.通过对数运算法则的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过对数换底公式的学习,提升逻辑推理的核心素养.问题:有了乘法口诀,我们就不必把乘法还原成加法来计算.那么,有没有类似乘法口诀的东西,使我们不必把对数式还原成指数式就能计算呢?答案有.1.对数的运算法则如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么:(1)loga(MN)=①logaM+logaN;loga(N1N2…Nk)=②logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,…,k).(2)logaMα=③αlogaM.(3)logaMN=④logaM-logaN.2.换底公式logab=⑤logcblogca(a>0,且a≠1,b>0,c>0且c≠1).思考:使用换底公式时,应注意什么?提示①在使用换底公式时,底数大于0且不等于1,底数的取值不唯一,应根据实际情况选择.②换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题.3.换底公式常用推论(1)loganbn=logab(a>0,a≠1,b>0,n≠0);(2)logambn=nmlogab(a>0,a≠1,b>0,m≠0,n∈R);(3)logab·logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1);(4)logab·logbc·logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,c≠1,d>0).探究一利用对数的运算法则求值例1(1)计算:log3❑√27+lg4+lg25+(-18)0的值;(2)计算下列各式的值:①lg5√100;②log2(47×25);③(lg2)2+lg20×lg5.解析(1)原式=32+lg102+1=32+2+1=92.(2)①lg5√100=15lg102=25lg10=25.②log2(47×25)=log247+log225=log222×7+log225=2×7+5=19.③(lg2)2+lg20×lg5=(lg2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1-(lg2)2=1.思维突破对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.1.计算下列各式的值:(1)2log23-log2638+log27-7log72;(2)log3❑√3+lg25+lg4-log2(log216).解析(1)2log23-log2638+log27-7log72=log29-log2638+log27-2=log2(9×863×7)-2=3-2=1.(2)原式=12log33+lg(25×4)-2=12+2-2=12.探究二对数运算法则的综合应用例2(易错题)设lga+lgb=2lg(a-2b),则log4ab的值为.易错辨析:将对数形式化为代数形式时,忽视真数的取值范围致误.答案1解析依题意,得a>0,b>0,a-2b>0,原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,等号两边同时除以b2得(ab)2-5(ab)+4=0,解得ab=4或ab=1. a-2b>0,∴ab>2,∴ab=4,∴log4ab=1.易错点拨在将对数形式转化成其他形式时,一定要先确定字母的取值范围,再求值.2.已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,则xy=.答案1解析 2lg(x+y)=lg2x+lg2y,∴lg(x+y)2=lg4xy,∴(x+y)2=4xy,即(x-y)2=0,∴x=y,∴xy=1.探究三对数换底公式的应用例3已知3a=4b=c(c>0,且c≠1),且1a+1b=2,求实数c的值.解析由3a=4b=c(c>0,且c≠1),得a=log3c,b=log4c,所以1a=1log3c=logc3,1b=1log4c=logc4.又1a+1b=2,所以logc3+logc4=logc12=2,即c2=12,所以c=2❑√3.思维突破应用换底公式时的注意点(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式化成一种形式.3.(1)(变条件)将本例中的条件“1a+1b=2”改为“1a-1b=2”,其他条件不变,求实数c的值;(2)(变条件、变结论)将本例条件改为“已知正数a,b,c满足3a=4b=6c”,求证:1c-1a=12b.解析(1)由3a=4b=c(c>0,且c≠1)得a=log3c,b=log4c,所以1a=1log3c=logc3,1b=1log4c=logc4.又1a-1b=2,所以logc3-logc4=logc34=2,即c2=34,所以c=❑√32.(2)证明:设3a=4b=6c=k(k>1),则a=log3k,b=log4k,c=log6k,所以1c-1a=1log6k-1log3k=logk6-logk3=logk63=logk2,12b=12log4k=12logk4=logk2,所以1c-1a=12b.1.计算log84+log82等于()A.log86B.8C.6D.1答案Dlog84+log82=log8(4×2)=log88=1.2.若2a=3b(ab≠0),则log32=()A.baB.abC.abD.a2b2答案A2a=3balg2=blg3,⇒故log32=lg2lg3=ba.3.下列等式成立的是()A.loga(x-y)=logax-logayB.logaxlogay=logax-logayC.logaxy=logax-logayD.logaxy=logaxlogay答案C4.若3a=2,则2log36-log38=(用a表示).答案2-a解析 3a=2,∴a=log32,∴2log36-log38=2(log32+log33)-3log32=-log32+2=2-...
