第8讲函数与方程[考纲解读]1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点)2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在．预测2020年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或以解答题中一问的形式呈现.1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使□f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的□2□1无交点零点个数□2□101．概念辨析(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．小题热身(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案B解析由已知得f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)．(2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1答案A解析y＝sinx，y＝lnx不是偶函数，y＝x2＋1不存在零点，所以只有y＝cosx符合题意．(3)函数f(x)＝x－x零点的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析函数f(x)＝x－x零点的个数是方程x－x＝0的解的个数，即方程x＝x的解的个数，也就是函数y＝x与y＝x图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.(4)若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________．答案(0,4)解析因为f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，所以方程x2＋kx＋k＝0无实根，所以Δ＝k2－4k<0，解得00，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．答案存在解析令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，解得x＝6或－3.显然6∈[1,8]，－3∉[1,8]，所以f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点，是6.函数零点所在区间的判断方法及适合题型方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负．如举例说明2图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象．如举例说明1解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程f(x)＝0易解时．如举例说明31．在下列区间中，函数f(x)＝e－x＋4x－3的零点所在的区间可能为()A.B.C.D.答案D解析因为f＝e＋4×－3＝e－4<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1<0，f＝e＋4×－3＝e>0.所以f·f<0，所以函数f(x)的零点所在的区间可能为.2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为______．答案3解析 0≤x≤π，∴≤3x＋≤.由题可知，当3x＋＝，3x＋＝或3x＋＝...
