第3讲圆锥曲线中的综合问题求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考)考向1构造不等式求最值或范围[高考解读]以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,融函数与方程,均值不等式、导数于一体,重在考查学生的数学建模、数学运算能力和逻辑推理及等价转化能力.(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.①证明:△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.切入点:(1)由kAM·kBM=-求C的方程,并注意x的范围.(2)①证明kPQ·kPG=-1即可;②建立面积函数,借助不等式求解.[解](1)由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.(2)①设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故xG=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为=-.所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.②由①得|PQ|=2u,|PG|=,所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==.设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,△PQG面积的最大值为.[点评]最值问题一般最终转化为某一个变量的函数,求最值时常用均值不等式,单调性,导数来求,重视一般函数中有分式,高次根式在求最值问题上的应用.[教师备选题](2014·全国卷Ⅰ)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.切入点:(1)由e=,kAF=可求a,b的值;(2)设出l的方程,表示出弦长|PQ|及点O到直线PQ的距离d,由S△OPQ=|PQ|d建立函数关系式,并借助不等式求最值.[解](1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y=x-2或y=-x-2.基本不等式求最值的5种典型情况分析(1)s=(先换元,注意“元”的范围,再利用基本不等式).(2)s=≥(基本不等式).(3)s=(基本不等式).(4)s==(先分离参数,再利用基本不等式).(5)s==(上下同时除以k2,令t=k+换元,再利用基本不等式).(长度的最值问题)若F1,F2分别是椭圆E:+y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(1)求圆C的方程;(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab取最大值时,求直线l的方程.[解](1)因为F1(-2,0),F2(2,0),所以圆C半径为2,圆心C是原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设C(p,q),由得p=q=2,所以C(2,2).所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)设直线l的方程为x=my+2,则圆心C到直线l的距离d=,所以b=2=,由得(5+m2)y2+4my-1=0,设直线l与椭圆E交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1·y2=,a=|AB|==,ab==≤2,当且仅当=,即m=±时等号成立.所以当m=±时,ab取最大值.此时直线l的方程为x±y-2=0.考向2构造函数求最值或范围(2017·浙江高考)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y)-