（通用版）高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 高考5个大题 题题研诀窍 数列问题重在“归”——化归讲义 理（普通生，含解析）-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

数列问题重在“归”——化归[技法指导——迁移搭桥]化归的常用策略利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列.[典例](2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[快审题]求什么想什么判断数列{bn}是等比数列，想到判断等比数列的方法．求{an}的通项公式，想到求bn的通项公式．给什么用什么给出nan＋1＝2(n＋1)an，用化归方法化为＝的形式.[稳解题](1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.[题后悟道]等差、等比数列基本量的计算模型(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[针对训练]已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝Sn＋Sn－1(n≥2)，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若bn＋1>bn对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为a＝Sn＋Sn－1(n≥2)，所以a＝Sn＋1＋Sn.两式相减，得a－a＝an＋1＋an.因为an>0，所以an＋1－an＝1.又a1＝1，所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列．所以an＝n.(2)因为bn＝(1－an)2－a(1－an)，且由(1)得an＝n，所以bn＝(1－n)2－a(1－n)＝n2＋(a－2)n＋1－a，所以bn＋1＝(n＋1)2＋(a－2)(n＋1)＋1－a＝n2＋an.因为bn＋1>bn恒成立，所以n2＋an>n2＋(a－2)n＋1－a，解得a>1－2n，所以a>－1.则实数a的取值范围为(－1，＋∞)．A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2019届高三·武汉调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()A．－2B．－1C.D.解析：选B由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中，得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.2．已知数列{an}满足＝，且a2＝2，则a4等于()A．－B．23C．12D．11解析：选D因为数列{an}满足＝，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是等比数列，公比为2，则a4＋1＝22(a2＋1)＝12，解得a4＝11.3．(2019届高三·西安八校联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为()A．10B．11C．12D．13解析：选C由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.4．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2019＝()A．1B．－2C．3D．－3解析：选A因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an，故{an}是以6为周期的周期数列．因为2019＝336×6＋3，所以a2019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.5．(2018·郑州第二次质量预测)已知f(x)＝数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.C．(1,3)D．(3，＋∞)解析：选D因为an＝f(n)，且{an}是递增数列，所以则得a>3.故选D.6．若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＋等于()A.B.C.D.解析：选C由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，则a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…，an－an－1＝(n－1)＋1，以上等式相加...