第1讲等差数列与等比数列1.(2015·全国Ⅱ卷,文5)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于(A)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:数列{an}为等差数列,设公差为d,所以a1+a3+a5=3a1+6d=3,所以a1+2d=1,所以S5=5a1+×d=5(a1+2d)=5.2.(2015·全国Ⅱ卷,文9)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(C)(A)2(B)1(C)(D)解析:设等比数列{an}的公比为q,a1=,a3a5=4(a4-1),由题可知q≠1,则a1q2×a1q4=4(a1q3-1),所以×q6=4×q3-1,所以q6-16q3+64=0,所以(q3-8)2=0,所以q3=8,所以q=2,所以a2=,故选C.3.(2015·全国Ⅰ卷,文7)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10等于(B)(A)(B)(C)10(D)12解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由题设知d=1,S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=+9=,故选B.4.(2014·全国Ⅱ卷,文5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于(A)(A)n(n+1)(B)n(n-1)(C)(D)解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+d=n(n+1).故选A.5.(2015·全国Ⅰ卷,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.解析:因为在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,因为Sn=126,所以=126,解得2n+1=128,所以n=6.答案:66.(2014·全国Ⅱ卷,文16)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=.解析:将a8=2代入an+1=,可求得a7=;再将a7=代入an+1=,可求得a6=-1;再将a6=-1代入an+1=,可求得a5=2;由此可以推出数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=.答案:7.(2018·全国Ⅱ卷,文17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.1.考查角度考查等差数列、等比数列基本量的计算,考查等差数列、等比数列性质的应用,考查等差数列、等比数列的判断与证明等.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第23~25页)等差、等比数列的基本运算【例1】(1)(2018·山东济南二模)已知{an}是公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S5=15,则a5等于()(A)3(B)5(C)7(D)9(2)(2018·湖南省两市九月调研)已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为()(A)3(B)5(C)9(D)25(3)(2018·福建百校高三临考冲刺)若干个连续奇数的和3+5+7+…+(4n-1)等于()(A)2n2+n(B)n2+2n(C)4n2+2n(D)4n2-1解析:(1)由题得S5=5a1+×2=5a1+20=15,所以a1=-1,所以a5=a1+4d=-1+8=7.故选C.(2)因为{an}是等比数列,所以a4=,a7=a5·q2,所以a4a7=·q=9q=45,所以q=5,所以==25.故选D.(3)把连续的奇数数列加1减1变成1+3+5+7+…+(4n-3)+(4n-1)-1,把相邻两项的和看成一个新的数列,为4+12+20+…+(8n-4)-1,所以变成首项a1=4,d=8的等差数列,所以Sn=4n+×8-1=4n+4n2-4n-1=4n2-1.故选D.解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.热点训练1:(1)(2018·广西三校联考)已知等差数列{an}满足:a3=13,a13=33,则a7等于()(A)19(B)20(C)21(D)22(2)(2018·广西桂林柳州市一模)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则的值为()(A)(B)(C)(D)(3)(2018·山东潍坊青州三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a4+a11=18,则S11等于()(A)9(B)22(C)36(D)66解析:(1)等差数列{an}中,d==2,则a7=a3+4d=13+8=21.故选C.(2)由等比数列的前n项和公式,得S4=,又a3=a1q2,所以==.选A.(3)因为a3+a4+a11=18,所以3a1+15d=18⇒a1+5d=6,所以S11=11(a1+5d)=11×6=66,故选D.等差、等比数列的性质【例2】(1)(2018·山东青岛二模)已知等差数列{an}中,若a4=15,则它的前7项和为()(A)120(B)115(C)110(D)105(2)(2018·东北四市一模)等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为()(A)6(B)7(C)8(D)9(3)(2018·河南洛阳市联考)在等比数列{an}中,a2,a16是...
