第8讲圆锥曲线的综合问题一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a≠0Δ＞0两个不相等的解两个交点Δ＝0两个相等的解一个交点Δ＜0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝.常用结论圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：＋＝1(a>b>0)k＝－双曲线：－＝1(a>0，b>0)k＝抛物线：y2＝2px(p>0)k＝二、习题改编(选修11P62例5改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C.结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行1于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．()(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．()(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．()(5)过点(2，4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题．1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为()A.B.C．2D．解析：选B.设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，所以x＝时，dmin＝.第1课时圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题证明问题(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅲ节选)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上的点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列．【证明】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.由题设得0b>0)经过点M，其离心率为，设直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l与圆x2＋y2＝相切，求证：OA⊥OB(O为坐标原点)．解：(1)因为e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝2b2，所以椭圆C的方程为＋＝1.因为在椭圆上，所以＋＝1，b2＝1，a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：因为直线l与圆x2＋y2＝相切，所以＝，即3m2－2k2－2＝0，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，所以OA⊥OB.范围问题(师生共研)已知曲线M由抛物线x2＝－y及抛物线x2＝4y组成，直线l：y＝kx－3(k>0)与曲线M有m(m∈N)个共同点．(1)若m≥3，求k的最小值；(2)若m＝4，自上而下记这4个交点分别为A，B，C，D，求的取...
