第2讲函数的单调性与最值[考纲解读]1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值．(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1．函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)□单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的□单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有□f(x)≤M；②存在x0∈I，使得□f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有□f(x)≥M；②存在x0∈I，使得□f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值1．概念辨析(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x)在[a，b]上是增函数⇔>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.()(3)函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则函数y＝f(x)的增区间为[0，＋∞)．()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝D．y＝－3x2答案A解析y＝|x|在(0,1)上是增函数，y＝3－x，y＝，y＝－3x2在(0,1)上都是减函数．(2)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案[－1,1]，[5,7]解析由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．(3)函数f(x)＝2－x2，x∈[－1,2]的最大值为________，最小值为________．答案2－2解析f(x)＝2－x2在[－1,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，f(－1)＝1，f(0)＝2，f(2)＝－2，所以最大值为2，最小值为－2.(4)函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，则k的取值范围是________．答案解析因为函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以2k＋1<0，解得k<－.题型确定函数的单调性(区间)1．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是()A．[1,2]B．[－1,0]C．[0,2]D．[2，＋∞)答案A解析f(x)＝|x－2|x＝作出此函数的图象如下．观察图象可知，f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是[1,2]．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8在定义域内的单调递增区间． 函数t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.3．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解解法一：设－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．条件探究将举例说明1中“f(x)＝|x－2|x”改为“f(x)＝x2－2|x|”，试写出其单调区间．解f(x)＝x2－2|x|＝作出此函数的图象如右：观察图象可知，此函数的单调递减区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递增区间是(－1,0]，(1，＋∞)．1．确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1
