高三数学 和差积商的导数VIP专享VIP免费

高三数学和差积商的导数一、学习目标掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．二、重点难点本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即(u±v)′＝u′±v′(uv)′＝uv′＋u′v(vu)′＝2vvuvu．本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法．三、典型例题例1求下列导数（1）y＝xx1111；（2）y＝x·sinx·lnx；（3）y＝xx4；（4）y＝xxln1ln1．【点评】如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．例2求函数的导数①y＝（2x2－5x＋1）ex②y＝xxxxxxsincoscossin【点评】①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？【解】（1）把x＝1代入C的方程，求得y＝－4．∴切点为（1，－4）．y′＝12x3－6x2－18x，∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12．∴切线方程为y＋4＝－12（x－1），即用心爱心专心115号编辑y＝－12x＋8．由8124923234xyxxxy得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0x＝1，－2，32．代入y＝3x4－2x3－9x2＋4，求得y＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）．【点评】直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4曲线S：y＝x3－6x2－x＋6哪一点切线的斜率最小？设此点为P（x0，y0）．证明：曲线S关于P中心对称．【解】y′＝3x2－12x－1当x＝3212＝2时，y′有最小值，故x0＝2，由P∈S知：y0＝23－6·22－2＋6＝－12即在P（2，－12）处切线斜率最小．设Q（x，y）∈S，即y＝x3－6x2－x＋6则与Q关与P对称的点为R（4－x，－24－y），只需证R的坐标满足S的方程即可．(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6＝64－48x＋12x2－x3－6（16－8x＋x2）＋x＋2＝－x3＋6x2＋x－30＝－x3＋6x2＋x－6－24＝－y－24故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称．【点评】本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．用心爱心专心115号编辑用心爱心专心115号编辑